Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29202 / 43878
↖ ↑ ↗
← S 51.964577°
W 19.588623°		 ← 376.38 m → S 51.964577°
W 19.583130°		 →
↑
376.40 m
↓
↑
376.40 m
↓
S 51.967962°
W 19.588623°		 ← 376.35 m →
141 662 m²		 S 51.967962°
W 19.583130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445594787597656 y=0.669532775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445594787597656 × 216)
    floor (0.445594787597656 × 65536)
    floor (29202.5)     		tx = 29202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669532775878906 × 216)
    floor (0.669532775878906 × 65536)
    floor (43878.5)     		ty = 43878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29202 / 43878 ti = "16/29202/43878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29202/43878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29202 ÷ 216
    29202 ÷ 65536     		x = 0.445587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43878 ÷ 216
    43878 ÷ 65536     		y = 0.669525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.10882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34188597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.33905029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06515790955765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34188597} λ = -0.34188597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06515790955765))-π/2
    2×atan(0.344673423241907)-π/2
    2×0.331921680919296-π/2
    0.663843361838591-1.57079632675     		φ = -0.90695296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34188597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.588623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90695296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.964577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29202 KachelY 43878 -0.34188597 -0.90695296 -19.588623 -51.964577
    Oben rechts KachelX + 1 29203 KachelY 43878 -0.34179009 -0.90695296 -19.583130 -51.964577
    Unten links KachelX 29202 KachelY + 1 43879 -0.34188597 -0.90701204 -19.588623 -51.967962
    Unten rechts KachelX + 1 29203 KachelY + 1 43879 -0.34179009 -0.90701204 -19.583130 -51.967962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90695296--0.90701204) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dl = 376.398679999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90695296--0.90701204) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dr = 376.398679999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34188597--0.34179009) × cos(-0.90695296) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.61614854609677 × 6371000     		do = 376.375251283031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34188597--0.34179009) × cos(-0.90701204) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.616102011842871 × 6371000     		du = 376.346825765167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90695296)-sin(-0.90701204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61614854609677-0.616102011842871)×R²
    abs(-0.34179009--0.34188597)×4.65342538984448e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65342538984448e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65342538984448e-05×40589641000000     		ar = 141661.798145135m²