Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29201 / 43877
↖ ↑ ↗
← S 51.961192°
W 19.594116°		 ← 376.36 m → S 51.961192°
W 19.588623°		 →
↑
376.33 m
↓
↑
376.33 m
↓
S 51.964577°
W 19.594116°		 ← 376.34 m →
141 634 m²		 S 51.964577°
W 19.588623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445579528808594 y=0.669517517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445579528808594 × 216)
    floor (0.445579528808594 × 65536)
    floor (29201.5)     		tx = 29201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669517517089844 × 216)
    floor (0.669517517089844 × 65536)
    floor (43877.5)     		ty = 43877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29201 / 43877 ti = "16/29201/43877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29201/43877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29201 ÷ 216
    29201 ÷ 65536     		x = 0.445571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43877 ÷ 216
    43877 ÷ 65536     		y = 0.669509887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445571899414062 × 2 - 1) × π
    -0.108856201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34198184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669509887695312 × 2 - 1) × π
    -0.339019775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06506203575841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34198184} λ = -0.34198184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06506203575841))-π/2
    2×atan(0.344706469976623)-π/2
    2×0.331951218285311-π/2
    0.663902436570623-1.57079632675     		φ = -0.90689389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34198184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.594116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90689389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.961192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29201 KachelY 43877 -0.34198184 -0.90689389 -19.594116 -51.961192
    Oben rechts KachelX + 1 29202 KachelY 43877 -0.34188597 -0.90689389 -19.588623 -51.961192
    Unten links KachelX 29201 KachelY + 1 43878 -0.34198184 -0.90695296 -19.594116 -51.964577
    Unten rechts KachelX + 1 29202 KachelY + 1 43878 -0.34188597 -0.90695296 -19.588623 -51.964577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90689389--0.90695296) × R
    5.90700000000499e-05 × 6371000     		dl = 376.334970000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90689389--0.90695296) × R
    5.90700000000499e-05 × 6371000     		dr = 376.334970000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34198184--0.34188597) × cos(-0.90689389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616195070324099 × 6371000     		do = 376.364412888242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34198184--0.34188597) × cos(-0.90695296) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61614854609677 × 6371000     		du = 376.33599645918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90689389)-sin(-0.90695296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616195070324099-0.61614854609677)×R²
    abs(-0.34188597--0.34198184)×4.65242273294253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65242273294253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65242273294253e-05×40589641000000     		ar = 141633.743026745m²