Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29200 / 44756
↖ ↑ ↗
← S 54.838664°
W 19.599610°		 ← 351.78 m → S 54.838664°
W 19.594116°		 →
↑
351.74 m
↓
↑
351.74 m
↓
S 54.841827°
W 19.599610°		 ← 351.75 m →
123 730 m²		 S 54.841827°
W 19.594116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445564270019531 y=0.682929992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445564270019531 × 216)
    floor (0.445564270019531 × 65536)
    floor (29200.5)     		tx = 29200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682929992675781 × 216)
    floor (0.682929992675781 × 65536)
    floor (44756.5)     		ty = 44756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29200 / 44756 ti = "16/29200/44756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29200/44756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29200 ÷ 216
    29200 ÷ 65536     		x = 0.445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44756 ÷ 216
    44756 ÷ 65536     		y = 0.68292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34207772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.3658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14933510529047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34207772} λ = -0.34207772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14933510529047))-π/2
    2×atan(0.316847369497551)-π/2
    2×0.306840544686895-π/2
    0.613681089373789-1.57079632675     		φ = -0.95711524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34207772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.599610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95711524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.838664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29200 KachelY 44756 -0.34207772 -0.95711524 -19.599610 -54.838664
    Oben rechts KachelX + 1 29201 KachelY 44756 -0.34198184 -0.95711524 -19.594116 -54.838664
    Unten links KachelX 29200 KachelY + 1 44757 -0.34207772 -0.95717045 -19.599610 -54.841827
    Unten rechts KachelX + 1 29201 KachelY + 1 44757 -0.34198184 -0.95717045 -19.594116 -54.841827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95711524--0.95717045) × R
    5.52099999999722e-05 × 6371000     		dl = 351.742909999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95711524--0.95717045) × R
    5.52099999999722e-05 × 6371000     		dr = 351.742909999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34207772--0.34198184) × cos(-0.95711524) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575880767494175 × 6371000     		do = 351.777619127326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34207772--0.34198184) × cos(-0.95717045) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575835630581241 × 6371000     		du = 351.750047177258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95711524)-sin(-0.95717045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575880767494175-0.575835630581241)×R²
    abs(-0.34198184--0.34207772)×4.51369129338408e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51369129338408e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51369129338408e-05×40589641000000     		ar = 123730.43433722m²