Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29199 / 44612
↖ ↑ ↗
← S 54.380558°
W 19.605103°		 ← 355.72 m → S 54.380558°
W 19.599610°		 →
↑
355.69 m
↓
↑
355.69 m
↓
S 54.383756°
W 19.605103°		 ← 355.69 m →
126 523 m²		 S 54.383756°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445549011230469 y=0.680732727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445549011230469 × 216)
    floor (0.445549011230469 × 65536)
    floor (29199.5)     		tx = 29199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680732727050781 × 216)
    floor (0.680732727050781 × 65536)
    floor (44612.5)     		ty = 44612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29199 / 44612 ti = "16/29199/44612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29199/44612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29199 ÷ 216
    29199 ÷ 65536     		x = 0.445541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44612 ÷ 216
    44612 ÷ 65536     		y = 0.68072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445541381835938 × 2 - 1) × π
    -0.108917236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34217359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.3614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13552927819989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34217359} λ = -0.34217359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13552927819989))-π/2
    2×atan(0.321252044625524)-π/2
    2×0.310838275830765-π/2
    0.62167655166153-1.57079632675     		φ = -0.94911978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34217359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.605103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94911978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.380558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29199 KachelY 44612 -0.34217359 -0.94911978 -19.605103 -54.380558
    Oben rechts KachelX + 1 29200 KachelY 44612 -0.34207772 -0.94911978 -19.599610 -54.380558
    Unten links KachelX 29199 KachelY + 1 44613 -0.34217359 -0.94917561 -19.605103 -54.383756
    Unten rechts KachelX + 1 29200 KachelY + 1 44613 -0.34207772 -0.94917561 -19.599610 -54.383756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94911978--0.94917561) × R
    5.5829999999979e-05 × 6371000     		dl = 355.692929999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94911978--0.94917561) × R
    5.5829999999979e-05 × 6371000     		dr = 355.692929999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34217359--0.34207772) × cos(-0.94911978) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.582398848626748 × 6371000     		do = 355.722094003497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34217359--0.34207772) × cos(-0.94917561) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.58235346333453 × 6371000     		du = 355.694373222072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94911978)-sin(-0.94917561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582398848626748-0.58235346333453)×R²
    abs(-0.34207772--0.34217359)×4.53852922176479e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.53852922176479e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.53852922176479e-05×40589641000000     		ar = 126522.903871745m²