Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29198 / 44816
↖ ↑ ↗
← S 55.028022°
W 19.610596°		 ← 350.09 m → S 55.028022°
W 19.605103°		 →
↑
350.09 m
↓
↑
350.09 m
↓
S 55.031171°
W 19.610596°		 ← 350.06 m →
122 557 m²		 S 55.031171°
W 19.605103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445533752441406 y=0.683845520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445533752441406 × 216)
    floor (0.445533752441406 × 65536)
    floor (29198.5)     		tx = 29198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683845520019531 × 216)
    floor (0.683845520019531 × 65536)
    floor (44816.5)     		ty = 44816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29198 / 44816 ti = "16/29198/44816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29198/44816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29198 ÷ 216
    29198 ÷ 65536     		x = 0.445526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44816 ÷ 216
    44816 ÷ 65536     		y = 0.683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.10894775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34226946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683837890625 × 2 - 1) × π
    -0.36767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15508753324487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34226946} λ = -0.34226946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15508753324487))-π/2
    2×atan(0.315029960101848)-π/2
    2×0.305188080040927-π/2
    0.610376160081853-1.57079632675     		φ = -0.96042017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34226946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.610596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96042017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.028022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29198 KachelY 44816 -0.34226946 -0.96042017 -19.610596 -55.028022
    Oben rechts KachelX + 1 29199 KachelY 44816 -0.34217359 -0.96042017 -19.605103 -55.028022
    Unten links KachelX 29198 KachelY + 1 44817 -0.34226946 -0.96047512 -19.610596 -55.031171
    Unten rechts KachelX + 1 29199 KachelY + 1 44817 -0.34217359 -0.96047512 -19.605103 -55.031171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96042017--0.96047512) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dl = 350.086449999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96042017--0.96047512) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dr = 350.086449999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34226946--0.34217359) × cos(-0.96042017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573175735735912 × 6371000     		do = 350.088729448239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34226946--0.34217359) × cos(-0.96047512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573130707056252 × 6371000     		du = 350.061226481404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96042017)-sin(-0.96047512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573175735735912-0.573130707056252)×R²
    abs(-0.34217359--0.34226946)×4.50286796596089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50286796596089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50286796596089e-05×40589641000000     		ar = 122556.506300126m²