Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29194 / 44634
↖ ↑ ↗
← S 54.450880°
W 19.632568°		 ← 355.15 m → S 54.450880°
W 19.627075°		 →
↑
355.12 m
↓
↑
355.12 m
↓
S 54.454073°
W 19.632568°		 ← 355.12 m →
126 116 m²		 S 54.454073°
W 19.627075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445472717285156 y=0.681068420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445472717285156 × 216)
    floor (0.445472717285156 × 65536)
    floor (29194.5)     		tx = 29194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681068420410156 × 216)
    floor (0.681068420410156 × 65536)
    floor (44634.5)     		ty = 44634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29194 / 44634 ti = "16/29194/44634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29194/44634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29194 ÷ 216
    29194 ÷ 65536     		x = 0.445465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44634 ÷ 216
    44634 ÷ 65536     		y = 0.681060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.10906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34265296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681060791015625 × 2 - 1) × π
    -0.36212158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13763850178317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34265296} λ = -0.34265296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13763850178317))-π/2
    2×atan(0.320575166331595)-π/2
    2×0.310224597542734-π/2
    0.620449195085467-1.57079632675     		φ = -0.95034713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34265296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.632568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95034713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.450880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29194 KachelY 44634 -0.34265296 -0.95034713 -19.632568 -54.450880
    Oben rechts KachelX + 1 29195 KachelY 44634 -0.34255708 -0.95034713 -19.627075 -54.450880
    Unten links KachelX 29194 KachelY + 1 44635 -0.34265296 -0.95040287 -19.632568 -54.454073
    Unten rechts KachelX + 1 29195 KachelY + 1 44635 -0.34255708 -0.95040287 -19.627075 -54.454073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95034713--0.95040287) × R
    5.57399999999708e-05 × 6371000     		dl = 355.119539999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95034713--0.95040287) × R
    5.57399999999708e-05 × 6371000     		dr = 355.119539999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34265296--0.34255708) × cos(-0.95034713) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581400693499193 × 6371000     		do = 355.149474096981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34265296--0.34255708) × cos(-0.95040287) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581355341563519 × 6371000     		du = 355.121770799954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95034713)-sin(-0.95040287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581400693499193-0.581355341563519)×R²
    abs(-0.34255708--0.34265296)×4.53519356735654e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.53519356735654e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.53519356735654e-05×40589641000000     		ar = 126115.59891395m²