Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29189 / 45013
↖ ↑ ↗
← S 55.643499°
W 19.660034°		 ← 344.73 m → S 55.643499°
W 19.654541°		 →
↑
344.67 m
↓
↑
344.67 m
↓
S 55.646599°
W 19.660034°		 ← 344.70 m →
118 813 m²		 S 55.646599°
W 19.654541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445396423339844 y=0.686851501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445396423339844 × 216)
    floor (0.445396423339844 × 65536)
    floor (29189.5)     		tx = 29189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686851501464844 × 216)
    floor (0.686851501464844 × 65536)
    floor (45013.5)     		ty = 45013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29189 / 45013 ti = "16/29189/45013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29189/45013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29189 ÷ 216
    29189 ÷ 65536     		x = 0.445388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45013 ÷ 216
    45013 ÷ 65536     		y = 0.686843872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445388793945312 × 2 - 1) × π
    -0.109222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34313233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686843872070312 × 2 - 1) × π
    -0.373687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17397467169518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34313233} λ = -0.34313233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17397467169518))-π/2
    2×atan(0.309135782914864)-π/2
    2×0.299817030147906-π/2
    0.599634060295811-1.57079632675     		φ = -0.97116227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34313233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.660034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97116227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.643499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29189 KachelY 45013 -0.34313233 -0.97116227 -19.660034 -55.643499
    Oben rechts KachelX + 1 29190 KachelY 45013 -0.34303645 -0.97116227 -19.654541 -55.643499
    Unten links KachelX 29189 KachelY + 1 45014 -0.34313233 -0.97121637 -19.660034 -55.646599
    Unten rechts KachelX + 1 29190 KachelY + 1 45014 -0.34303645 -0.97121637 -19.654541 -55.646599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97116227--0.97121637) × R
    5.41000000000569e-05 × 6371000     		dl = 344.671100000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97116227--0.97121637) × R
    5.41000000000569e-05 × 6371000     		dr = 344.671100000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34313233--0.34303645) × cos(-0.97116227) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564340409634683 × 6371000     		do = 344.728174449126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34313233--0.34303645) × cos(-0.97121637) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564295746976545 × 6371000     		du = 344.700892198302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97116227)-sin(-0.97121637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564340409634683-0.564295746976545)×R²
    abs(-0.34303645--0.34313233)×4.46626581382947e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46626581382947e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46626581382947e-05×40589641000000     		ar = 118813.137415879m²