Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29188 / 44553
↖ ↑ ↗
← S 54.191369°
W 19.665527°		 ← 357.36 m → S 54.191369°
W 19.660034°		 →
↑
357.41 m
↓
↑
357.41 m
↓
S 54.194584°
W 19.665527°		 ← 357.33 m →
127 720 m²		 S 54.194584°
W 19.660034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445381164550781 y=0.679832458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445381164550781 × 216)
    floor (0.445381164550781 × 65536)
    floor (29188.5)     		tx = 29188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679832458496094 × 216)
    floor (0.679832458496094 × 65536)
    floor (44553.5)     		ty = 44553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29188 / 44553 ti = "16/29188/44553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29188/44553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29188 ÷ 216
    29188 ÷ 65536     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44553 ÷ 216
    44553 ÷ 65536     		y = 0.679824829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679824829101562 × 2 - 1) × π
    -0.359649658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12987272404472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12987272404472))-π/2
    2×atan(0.323074373405096)-π/2
    2×0.312489251039383-π/2
    0.624978502078767-1.57079632675     		φ = -0.94581782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94581782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.191369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29188 KachelY 44553 -0.34322820 -0.94581782 -19.665527 -54.191369
    Oben rechts KachelX + 1 29189 KachelY 44553 -0.34313233 -0.94581782 -19.660034 -54.191369
    Unten links KachelX 29188 KachelY + 1 44554 -0.34322820 -0.94587392 -19.665527 -54.194584
    Unten rechts KachelX + 1 29189 KachelY + 1 44554 -0.34313233 -0.94587392 -19.660034 -54.194584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94581782--0.94587392) × R
    5.61000000000034e-05 × 6371000     		dl = 357.413100000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94581782--0.94587392) × R
    5.61000000000034e-05 × 6371000     		dr = 357.413100000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34313233) × cos(-0.94581782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58507984260866 × 6371000     		do = 357.359612338886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34313233) × cos(-0.94587392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585034345951513 × 6371000     		du = 357.331823537125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94581782)-sin(-0.94587392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58507984260866-0.585034345951513)×R²
    abs(-0.34313233--0.34322820)×4.54966571464821e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54966571464821e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54966571464821e-05×40589641000000     		ar = 127720.040853271m²