Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29188 / 43924
↖ ↑ ↗
← S 52.119999°
W 19.665527°		 ← 375.03 m → S 52.119999°
W 19.660034°		 →
↑
375.06 m
↓
↑
375.06 m
↓
S 52.123372°
W 19.665527°		 ← 375 m →
140 654 m²		 S 52.123372°
W 19.660034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445381164550781 y=0.670234680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445381164550781 × 216)
    floor (0.445381164550781 × 65536)
    floor (29188.5)     		tx = 29188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670234680175781 × 216)
    floor (0.670234680175781 × 65536)
    floor (43924.5)     		ty = 43924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29188 / 43924 ti = "16/29188/43924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29188/43924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29188 ÷ 216
    29188 ÷ 65536     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43924 ÷ 216
    43924 ÷ 65536     		y = 0.67022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67022705078125 × 2 - 1) × π
    -0.3404541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06956810432269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06956810432269))-π/2
    2×atan(0.34315669331062)-π/2
    2×0.330565372051428-π/2
    0.661130744102856-1.57079632675     		φ = -0.90966558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90966558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.119999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29188 KachelY 43924 -0.34322820 -0.90966558 -19.665527 -52.119999
    Oben rechts KachelX + 1 29189 KachelY 43924 -0.34313233 -0.90966558 -19.660034 -52.119999
    Unten links KachelX 29188 KachelY + 1 43925 -0.34322820 -0.90972445 -19.665527 -52.123372
    Unten rechts KachelX + 1 29189 KachelY + 1 43925 -0.34313233 -0.90972445 -19.660034 -52.123372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90966558--0.90972445) × R
    5.88700000000442e-05 × 6371000     		dl = 375.060770000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90966558--0.90972445) × R
    5.88700000000442e-05 × 6371000     		dr = 375.060770000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34313233) × cos(-0.90966558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614009741004857 × 6371000     		do = 375.029640466626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34313233) × cos(-0.90972445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613963273941347 × 6371000     		du = 375.001258952526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90966558)-sin(-0.90972445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614009741004857-0.613963273941347)×R²
    abs(-0.34313233--0.34322820)×4.64670635097475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64670635097475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64670635097475e-05×40589641000000     		ar = 140653.583371097m²