Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29188 / 43731
↖ ↑ ↗
← S 51.464275°
W 19.665527°		 ← 380.52 m → S 51.464275°
W 19.660034°		 →
↑
380.54 m
↓
↑
380.54 m
↓
S 51.467697°
W 19.665527°		 ← 380.49 m →
144 798 m²		 S 51.467697°
W 19.660034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445381164550781 y=0.667289733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445381164550781 × 216)
    floor (0.445381164550781 × 65536)
    floor (29188.5)     		tx = 29188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667289733886719 × 216)
    floor (0.667289733886719 × 65536)
    floor (43731.5)     		ty = 43731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29188 / 43731 ti = "16/29188/43731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29188/43731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29188 ÷ 216
    29188 ÷ 65536     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43731 ÷ 216
    43731 ÷ 65536     		y = 0.667282104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667282104492188 × 2 - 1) × π
    -0.334564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05106446106935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05106446106935))-π/2
    2×atan(0.349565452183476)-π/2
    2×0.336287641942363-π/2
    0.672575283884725-1.57079632675     		φ = -0.89822104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89822104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.464275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29188 KachelY 43731 -0.34322820 -0.89822104 -19.665527 -51.464275
    Oben rechts KachelX + 1 29189 KachelY 43731 -0.34313233 -0.89822104 -19.660034 -51.464275
    Unten links KachelX 29188 KachelY + 1 43732 -0.34322820 -0.89828077 -19.665527 -51.467697
    Unten rechts KachelX + 1 29189 KachelY + 1 43732 -0.34313233 -0.89828077 -19.660034 -51.467697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89822104--0.89828077) × R
    5.97299999999246e-05 × 6371000     		dl = 380.539829999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89822104--0.89828077) × R
    5.97299999999246e-05 × 6371000     		dr = 380.539829999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34313233) × cos(-0.89822104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623002491170946 × 6371000     		do = 380.522302286739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34313233) × cos(-0.89828077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622955768067913 × 6371000     		du = 380.493764386829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89822104)-sin(-0.89828077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623002491170946-0.622955768067913)×R²
    abs(-0.34313233--0.34322820)×4.67231030334414e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67231030334414e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67231030334414e-05×40589641000000     		ar = 144798.462362561m²