Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29187 / 45061
↖ ↑ ↗
← S 55.792017°
W 19.671021°		 ← 343.42 m → S 55.792017°
W 19.665527°		 →
↑
343.40 m
↓
↑
343.40 m
↓
S 55.795106°
W 19.671021°		 ← 343.39 m →
117 925 m²		 S 55.795106°
W 19.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445365905761719 y=0.687583923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445365905761719 × 216)
    floor (0.445365905761719 × 65536)
    floor (29187.5)     		tx = 29187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687583923339844 × 216)
    floor (0.687583923339844 × 65536)
    floor (45061.5)     		ty = 45061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29187 / 45061 ti = "16/29187/45061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29187/45061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29187 ÷ 216
    29187 ÷ 65536     		x = 0.445358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45061 ÷ 216
    45061 ÷ 65536     		y = 0.687576293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445358276367188 × 2 - 1) × π
    -0.109283447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34332408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687576293945312 × 2 - 1) × π
    -0.375152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1785766140587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34332408} λ = -0.34332408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1785766140587))-π/2
    2×atan(0.307716426263051)-π/2
    2×0.298520964077112-π/2
    0.597041928154225-1.57079632675     		φ = -0.97375440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34332408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.671021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97375440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.792017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29187 KachelY 45061 -0.34332408 -0.97375440 -19.671021 -55.792017
    Oben rechts KachelX + 1 29188 KachelY 45061 -0.34322820 -0.97375440 -19.665527 -55.792017
    Unten links KachelX 29187 KachelY + 1 45062 -0.34332408 -0.97380830 -19.671021 -55.795106
    Unten rechts KachelX + 1 29188 KachelY + 1 45062 -0.34322820 -0.97380830 -19.665527 -55.795106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97375440--0.97380830) × R
    5.38999999999401e-05 × 6371000     		dl = 343.396899999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97375440--0.97380830) × R
    5.38999999999401e-05 × 6371000     		dr = 343.396899999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34332408--0.34322820) × cos(-0.97375440) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56219860342315 × 6371000     		do = 343.419848954938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34332408--0.34322820) × cos(-0.97380830) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562154027184957 × 6371000     		du = 343.392619493865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97375440)-sin(-0.97380830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56219860342315-0.562154027184957)×R²
    abs(-0.34322820--0.34332408)×4.45762381927617e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45762381927617e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45762381927617e-05×40589641000000     		ar = 117924.636301798m²