Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29187 / 44833
↖ ↑ ↗
← S 55.081512°
W 19.671021°		 ← 349.66 m → S 55.081512°
W 19.665527°		 →
↑
349.58 m
↓
↑
349.58 m
↓
S 55.084656°
W 19.671021°		 ← 349.63 m →
122 227 m²		 S 55.084656°
W 19.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445365905761719 y=0.684104919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445365905761719 × 216)
    floor (0.445365905761719 × 65536)
    floor (29187.5)     		tx = 29187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684104919433594 × 216)
    floor (0.684104919433594 × 65536)
    floor (44833.5)     		ty = 44833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29187 / 44833 ti = "16/29187/44833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29187/44833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29187 ÷ 216
    29187 ÷ 65536     		x = 0.445358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44833 ÷ 216
    44833 ÷ 65536     		y = 0.684097290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445358276367188 × 2 - 1) × π
    -0.109283447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34332408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684097290039062 × 2 - 1) × π
    -0.368194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15671738783195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34332408} λ = -0.34332408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15671738783195))-π/2
    2×atan(0.314516925275959)-π/2
    2×0.304721295333446-π/2
    0.609442590666893-1.57079632675     		φ = -0.96135374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34332408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.671021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96135374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.081512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29187 KachelY 44833 -0.34332408 -0.96135374 -19.671021 -55.081512
    Oben rechts KachelX + 1 29188 KachelY 44833 -0.34322820 -0.96135374 -19.665527 -55.081512
    Unten links KachelX 29187 KachelY + 1 44834 -0.34332408 -0.96140861 -19.671021 -55.084656
    Unten rechts KachelX + 1 29188 KachelY + 1 44834 -0.34322820 -0.96140861 -19.665527 -55.084656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96135374--0.96140861) × R
    5.48700000000402e-05 × 6371000     		dl = 349.576770000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96135374--0.96140861) × R
    5.48700000000402e-05 × 6371000     		dr = 349.576770000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34332408--0.34322820) × cos(-0.96135374) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572410488497784 × 6371000     		do = 349.657794066367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34332408--0.34322820) × cos(-0.96140861) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.57236549603507 × 6371000     		du = 349.63031035393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96135374)-sin(-0.96140861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572410488497784-0.57236549603507)×R²
    abs(-0.34322820--0.34332408)×4.49924627133891e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49924627133891e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49924627133891e-05×40589641000000     		ar = 122227.438451835m²