Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29187 / 44803
↖ ↑ ↗
← S 54.987070°
W 19.671021°		 ← 350.48 m → S 54.987070°
W 19.665527°		 →
↑
350.47 m
↓
↑
350.47 m
↓
S 54.990222°
W 19.671021°		 ← 350.46 m →
122 828 m²		 S 54.990222°
W 19.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445365905761719 y=0.683647155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445365905761719 × 216)
    floor (0.445365905761719 × 65536)
    floor (29187.5)     		tx = 29187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683647155761719 × 216)
    floor (0.683647155761719 × 65536)
    floor (44803.5)     		ty = 44803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29187 / 44803 ti = "16/29187/44803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29187/44803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29187 ÷ 216
    29187 ÷ 65536     		x = 0.445358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44803 ÷ 216
    44803 ÷ 65536     		y = 0.683639526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445358276367188 × 2 - 1) × π
    -0.109283447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34332408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683639526367188 × 2 - 1) × π
    -0.367279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15384117385475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34332408} λ = -0.34332408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15384117385475))-π/2
    2×atan(0.315422845438095)-π/2
    2×0.305545453955652-π/2
    0.611090907911304-1.57079632675     		φ = -0.95970542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34332408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.671021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95970542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.987070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29187 KachelY 44803 -0.34332408 -0.95970542 -19.671021 -54.987070
    Oben rechts KachelX + 1 29188 KachelY 44803 -0.34322820 -0.95970542 -19.665527 -54.987070
    Unten links KachelX 29187 KachelY + 1 44804 -0.34332408 -0.95976043 -19.671021 -54.990222
    Unten rechts KachelX + 1 29188 KachelY + 1 44804 -0.34322820 -0.95976043 -19.665527 -54.990222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95970542--0.95976043) × R
    5.50099999999665e-05 × 6371000     		dl = 350.468709999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95970542--0.95976043) × R
    5.50099999999665e-05 × 6371000     		dr = 350.468709999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34332408--0.34322820) × cos(-0.95970542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573761278636877 × 6371000     		do = 350.482926222002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34332408--0.34322820) × cos(-0.95976043) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573716223336356 × 6371000     		du = 350.455404124997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95970542)-sin(-0.95976043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573761278636877-0.573716223336356)×R²
    abs(-0.34322820--0.34332408)×4.5055300520902e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5055300520902e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5055300520902e-05×40589641000000     		ar = 122828.476244177m²