Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29184 / 43763
↖ ↑ ↗
← S 51.573656°
W 19.687500°		 ← 379.65 m → S 51.573656°
W 19.682007°		 →
↑
379.58 m
↓
↑
379.58 m
↓
S 51.577069°
W 19.687500°		 ← 379.62 m →
144 103 m²		 S 51.577069°
W 19.682007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445320129394531 y=0.667778015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445320129394531 × 216)
    floor (0.445320129394531 × 65536)
    floor (29184.5)     		tx = 29184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667778015136719 × 216)
    floor (0.667778015136719 × 65536)
    floor (43763.5)     		ty = 43763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29184 / 43763 ti = "16/29184/43763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29184/43763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29184 ÷ 216
    29184 ÷ 65536     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43763 ÷ 216
    43763 ÷ 65536     		y = 0.667770385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667770385742188 × 2 - 1) × π
    -0.335540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05413242264503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05413242264503))-π/2
    2×atan(0.348494642249763)-π/2
    2×0.335333114479829-π/2
    0.670666228959657-1.57079632675     		φ = -0.90013010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90013010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.573656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29184 KachelY 43763 -0.34361170 -0.90013010 -19.687500 -51.573656
    Oben rechts KachelX + 1 29185 KachelY 43763 -0.34351582 -0.90013010 -19.682007 -51.573656
    Unten links KachelX 29184 KachelY + 1 43764 -0.34361170 -0.90018968 -19.687500 -51.577069
    Unten rechts KachelX + 1 29185 KachelY + 1 43764 -0.34351582 -0.90018968 -19.682007 -51.577069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90013010--0.90018968) × R
    5.9579999999948e-05 × 6371000     		dl = 379.584179999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90013010--0.90018968) × R
    5.9579999999948e-05 × 6371000     		dr = 379.584179999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34351582) × cos(-0.90013010) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621508052179321 × 6371000     		do = 379.649113505626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34351582) × cos(-0.90018968) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621461375641039 × 6371000     		du = 379.620601073136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90013010)-sin(-0.90018968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621508052179321-0.621461375641039)×R²
    abs(-0.34351582--0.34361170)×4.66765382817202e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66765382817202e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66765382817202e-05×40589641000000     		ar = 144103.386045925m²