Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29183 / 46591
↖ ↑ ↗
← S 60.237084°
W 19.692993°		 ← 303.20 m → S 60.237084°
W 19.687500°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
S 60.239811°
W 19.692993°		 ← 303.18 m →
91 945 m²		 S 60.239811°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445304870605469 y=0.710929870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445304870605469 × 216)
    floor (0.445304870605469 × 65536)
    floor (29183.5)     		tx = 29183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.710929870605469 × 216)
    floor (0.710929870605469 × 65536)
    floor (46591.5)     		ty = 46591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29183 / 46591 ti = "16/29183/46591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29183/46591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29183 ÷ 216
    29183 ÷ 65536     		x = 0.445297241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46591 ÷ 216
    46591 ÷ 65536     		y = 0.710922241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445297241210938 × 2 - 1) × π
    -0.109405517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34370757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.710922241210938 × 2 - 1) × π
    -0.421844482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.32526352689607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34370757} λ = -0.34370757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.32526352689607))-π/2
    2×atan(0.265732922088873)-π/2
    2×0.259730436030353-π/2
    0.519460872060707-1.57079632675     		φ = -1.05133545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34370757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.692993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05133545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.237084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29183 KachelY 46591 -0.34370757 -1.05133545 -19.692993 -60.237084
    Oben rechts KachelX + 1 29184 KachelY 46591 -0.34361170 -1.05133545 -19.687500 -60.237084
    Unten links KachelX 29183 KachelY + 1 46592 -0.34370757 -1.05138305 -19.692993 -60.239811
    Unten rechts KachelX + 1 29184 KachelY + 1 46592 -0.34361170 -1.05138305 -19.687500 -60.239811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05133545--1.05138305) × R
    4.76000000000365e-05 × 6371000     		dl = 303.259600000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05133545--1.05138305) × R
    4.76000000000365e-05 × 6371000     		dr = 303.259600000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34370757--0.34361170) × cos(-1.05133545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.496412204198747 × 6371000     		do = 303.202503203331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34370757--0.34361170) × cos(-1.05138305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.496370882698369 × 6371000     		du = 303.177264536262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05133545)-sin(-1.05138305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496412204198747-0.496370882698369)×R²
    abs(-0.34361170--0.34370757)×4.13215003782774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13215003782774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13215003782774e-05×40589641000000     		ar = 91945.2429236921m²