Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29182 / 45047
↖ ↑ ↗
← S 55.748758°
W 19.698486°		 ← 343.77 m → S 55.748758°
W 19.692993°		 →
↑
343.78 m
↓
↑
343.78 m
↓
S 55.751850°
W 19.698486°		 ← 343.74 m →
118 175 m²		 S 55.751850°
W 19.692993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445289611816406 y=0.687370300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445289611816406 × 216)
    floor (0.445289611816406 × 65536)
    floor (29182.5)     		tx = 29182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687370300292969 × 216)
    floor (0.687370300292969 × 65536)
    floor (45047.5)     		ty = 45047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29182 / 45047 ti = "16/29182/45047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29182/45047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29182 ÷ 216
    29182 ÷ 65536     		x = 0.445281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45047 ÷ 216
    45047 ÷ 65536     		y = 0.687362670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.10943603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34380344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687362670898438 × 2 - 1) × π
    -0.374725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17723438086934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34380344} λ = -0.34380344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17723438086934))-π/2
    2×atan(0.308129730776761)-π/2
    2×0.298898474339365-π/2
    0.597796948678729-1.57079632675     		φ = -0.97299938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34380344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.698486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97299938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.748758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29182 KachelY 45047 -0.34380344 -0.97299938 -19.698486 -55.748758
    Oben rechts KachelX + 1 29183 KachelY 45047 -0.34370757 -0.97299938 -19.692993 -55.748758
    Unten links KachelX 29182 KachelY + 1 45048 -0.34380344 -0.97305334 -19.698486 -55.751850
    Unten rechts KachelX + 1 29183 KachelY + 1 45048 -0.34370757 -0.97305334 -19.692993 -55.751850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97299938--0.97305334) × R
    5.39600000000195e-05 × 6371000     		dl = 343.779160000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97299938--0.97305334) × R
    5.39600000000195e-05 × 6371000     		dr = 343.779160000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34380344--0.34370757) × cos(-0.97299938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562822846364529 × 6371000     		do = 343.765311236036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34380344--0.34370757) × cos(-0.97305334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562778243420655 × 6371000     		du = 343.738068303412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97299938)-sin(-0.97305334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562822846364529-0.562778243420655)×R²
    abs(-0.34370757--0.34380344)×4.46029438735396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46029438735396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46029438735396e-05×40589641000000     		ar = 118174.6671864m²