Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29180 / 44605
↖ ↑ ↗
← S 54.358157°
W 19.709473°		 ← 355.92 m → S 54.358157°
W 19.703980°		 →
↑
355.95 m
↓
↑
355.95 m
↓
S 54.361358°
W 19.709473°		 ← 355.89 m →
126 683 m²		 S 54.361358°
W 19.703980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445259094238281 y=0.680625915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445259094238281 × 216)
    floor (0.445259094238281 × 65536)
    floor (29180.5)     		tx = 29180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680625915527344 × 216)
    floor (0.680625915527344 × 65536)
    floor (44605.5)     		ty = 44605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29180 / 44605 ti = "16/29180/44605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29180/44605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29180 ÷ 216
    29180 ÷ 65536     		x = 0.44525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44605 ÷ 216
    44605 ÷ 65536     		y = 0.680618286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.1094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34399519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680618286132812 × 2 - 1) × π
    -0.361236572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13485816160521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34399519} λ = -0.34399519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13485816160521))-π/2
    2×atan(0.321467714565491)-π/2
    2×0.311033757911184-π/2
    0.622067515822368-1.57079632675     		φ = -0.94872881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34399519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94872881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.358157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29180 KachelY 44605 -0.34399519 -0.94872881 -19.709473 -54.358157
    Oben rechts KachelX + 1 29181 KachelY 44605 -0.34389932 -0.94872881 -19.703980 -54.358157
    Unten links KachelX 29180 KachelY + 1 44606 -0.34399519 -0.94878468 -19.709473 -54.361358
    Unten rechts KachelX + 1 29181 KachelY + 1 44606 -0.34389932 -0.94878468 -19.703980 -54.361358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94872881--0.94878468) × R
    5.58700000000689e-05 × 6371000     		dl = 355.947770000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94872881--0.94878468) × R
    5.58700000000689e-05 × 6371000     		dr = 355.947770000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34399519--0.34389932) × cos(-0.94872881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582716624863164 × 6371000     		do = 355.916187842091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34399519--0.34389932) × cos(-0.94878468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582671219778118 × 6371000     		du = 355.888454971449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94872881)-sin(-0.94878468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582716624863164-0.582671219778118)×R²
    abs(-0.34389932--0.34399519)×4.5405085045469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5405085045469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5405085045469e-05×40589641000000     		ar = 126682.637675627m²