Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29178 / 43774
↖ ↑ ↗
← S 51.611195°
W 19.720459°		 ← 379.30 m → S 51.611195°
W 19.714966°		 →
↑
379.27 m
↓
↑
379.27 m
↓
S 51.614606°
W 19.720459°		 ← 379.27 m →
143 849 m²		 S 51.614606°
W 19.714966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445228576660156 y=0.667945861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445228576660156 × 216)
    floor (0.445228576660156 × 65536)
    floor (29178.5)     		tx = 29178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667945861816406 × 216)
    floor (0.667945861816406 × 65536)
    floor (43774.5)     		ty = 43774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29178 / 43774 ti = "16/29178/43774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29178/43774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29178 ÷ 216
    29178 ÷ 65536     		x = 0.445220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43774 ÷ 216
    43774 ÷ 65536     		y = 0.667938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.10955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34418694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.33587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05518703443668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34418694} λ = -0.34418694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05518703443668))-π/2
    2×atan(0.348127309421535)-π/2
    2×0.335005524986563-π/2
    0.670011049973127-1.57079632675     		φ = -0.90078528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34418694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.720459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90078528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.611195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29178 KachelY 43774 -0.34418694 -0.90078528 -19.720459 -51.611195
    Oben rechts KachelX + 1 29179 KachelY 43774 -0.34409107 -0.90078528 -19.714966 -51.611195
    Unten links KachelX 29178 KachelY + 1 43775 -0.34418694 -0.90084481 -19.720459 -51.614606
    Unten rechts KachelX + 1 29179 KachelY + 1 43775 -0.34409107 -0.90084481 -19.714966 -51.614606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90078528--0.90084481) × R
    5.95300000000298e-05 × 6371000     		dl = 379.26563000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90078528--0.90084481) × R
    5.95300000000298e-05 × 6371000     		dr = 379.26563000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34418694--0.34409107) × cos(-0.90078528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620994645715848 × 6371000     		do = 379.295934838715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34418694--0.34409107) × cos(-0.90084481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620947984120132 × 6371000     		du = 379.267434506722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90078528)-sin(-0.90084481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620994645715848-0.620947984120132)×R²
    abs(-0.34409107--0.34418694)×4.6661595716313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6661595716313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6661595716313e-05×40589641000000     		ar = 143848.507127558m²