Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29176 / 44632
↖ ↑ ↗
← S 54.444492°
W 19.731445°		 ← 355.20 m → S 54.444492°
W 19.725952°		 →
↑
355.18 m
↓
↑
355.18 m
↓
S 54.447686°
W 19.731445°		 ← 355.18 m →
126 158 m²		 S 54.447686°
W 19.725952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445198059082031 y=0.681037902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445198059082031 × 216)
    floor (0.445198059082031 × 65536)
    floor (29176.5)     		tx = 29176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681037902832031 × 216)
    floor (0.681037902832031 × 65536)
    floor (44632.5)     		ty = 44632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29176 / 44632 ti = "16/29176/44632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29176/44632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29176 ÷ 216
    29176 ÷ 65536     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44632 ÷ 216
    44632 ÷ 65536     		y = 0.6810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6810302734375 × 2 - 1) × π
    -0.362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13744675418469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13744675418469))-π/2
    2×atan(0.320636641743565)-π/2
    2×0.310280342984139-π/2
    0.620560685968277-1.57079632675     		φ = -0.95023564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95023564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.444492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29176 KachelY 44632 -0.34437869 -0.95023564 -19.731445 -54.444492
    Oben rechts KachelX + 1 29177 KachelY 44632 -0.34428281 -0.95023564 -19.725952 -54.444492
    Unten links KachelX 29176 KachelY + 1 44633 -0.34437869 -0.95029139 -19.731445 -54.447686
    Unten rechts KachelX + 1 29177 KachelY + 1 44633 -0.34428281 -0.95029139 -19.725952 -54.447686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95023564--0.95029139) × R
    5.574999999991e-05 × 6371000     		dl = 355.183249999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95023564--0.95029139) × R
    5.574999999991e-05 × 6371000     		dr = 355.183249999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34428281) × cos(-0.95023564) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58149140008678 × 6371000     		do = 355.204882350255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34428281) × cos(-0.95029139) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581446043628485 × 6371000     		du = 355.177176290577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95023564)-sin(-0.95029139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58149140008678-0.581446043628485)×R²
    abs(-0.34428281--0.34437869)×4.5356458295287e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5356458295287e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5356458295287e-05×40589641000000     		ar = 126157.904197255m²