Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29176 / 43776
↖ ↑ ↗
← S 51.618016°
W 19.731445°		 ← 379.28 m → S 51.618016°
W 19.725952°		 →
↑
379.27 m
↓
↑
379.27 m
↓
S 51.621427°
W 19.731445°		 ← 379.25 m →
143 842 m²		 S 51.621427°
W 19.725952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445198059082031 y=0.667976379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445198059082031 × 216)
    floor (0.445198059082031 × 65536)
    floor (29176.5)     		tx = 29176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667976379394531 × 216)
    floor (0.667976379394531 × 65536)
    floor (43776.5)     		ty = 43776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29176 / 43776 ti = "16/29176/43776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29176/43776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29176 ÷ 216
    29176 ÷ 65536     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43776 ÷ 216
    43776 ÷ 65536     		y = 0.66796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66796875 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05537878203516))-π/2
    2×atan(0.348060563245402)-π/2
    2×0.334945992344302-π/2
    0.669891984688605-1.57079632675     		φ = -0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29176 KachelY 43776 -0.34437869 -0.90090434 -19.731445 -51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 29177 KachelY 43776 -0.34428281 -0.90090434 -19.725952 -51.618016
    Unten links KachelX 29176 KachelY + 1 43777 -0.34437869 -0.90096387 -19.731445 -51.621427
    Unten rechts KachelX + 1 29177 KachelY + 1 43777 -0.34428281 -0.90096387 -19.725952 -51.621427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90090434--0.90096387) × R
    5.95300000000298e-05 × 6371000     		dl = 379.26563000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90090434--0.90096387) × R
    5.95300000000298e-05 × 6371000     		dr = 379.26563000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34428281) × cos(-0.90090434) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 379.278490453771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34428281) × cos(-0.90096387) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.620854654327279 × 6371000     		du = 379.249984460678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90090434)-sin(-0.90096387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.620854654327279)×R²
    abs(-0.34428281--0.34437869)×4.66659966077421e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66659966077421e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66659966077421e-05×40589641000000     		ar = 143841.889998275m²