Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29175 / 44761
↖ ↑ ↗
← S 54.854477°
W 19.736938°		 ← 351.60 m → S 54.854477°
W 19.731445°		 →
↑
351.62 m
↓
↑
351.62 m
↓
S 54.857640°
W 19.736938°		 ← 351.58 m →
123 624 m²		 S 54.857640°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445182800292969 y=0.683006286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445182800292969 × 216)
    floor (0.445182800292969 × 65536)
    floor (29175.5)     		tx = 29175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683006286621094 × 216)
    floor (0.683006286621094 × 65536)
    floor (44761.5)     		ty = 44761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29175 / 44761 ti = "16/29175/44761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29175/44761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29175 ÷ 216
    29175 ÷ 65536     		x = 0.445175170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44761 ÷ 216
    44761 ÷ 65536     		y = 0.682998657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445175170898438 × 2 - 1) × π
    -0.109649658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34447456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682998657226562 × 2 - 1) × π
    -0.365997314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14981447428667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34447456} λ = -0.34447456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14981447428667))-π/2
    2×atan(0.316695519091182)-π/2
    2×0.306702542038826-π/2
    0.613405084077652-1.57079632675     		φ = -0.95739124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34447456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.736938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95739124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.854477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29175 KachelY 44761 -0.34447456 -0.95739124 -19.736938 -54.854477
    Oben rechts KachelX + 1 29176 KachelY 44761 -0.34437869 -0.95739124 -19.731445 -54.854477
    Unten links KachelX 29175 KachelY + 1 44762 -0.34447456 -0.95744643 -19.736938 -54.857640
    Unten rechts KachelX + 1 29176 KachelY + 1 44762 -0.34437869 -0.95744643 -19.731445 -54.857640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95739124--0.95744643) × R
    5.51899999999828e-05 × 6371000     		dl = 351.61548999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95739124--0.95744643) × R
    5.51899999999828e-05 × 6371000     		dr = 351.61548999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34447456--0.34437869) × cos(-0.95739124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575655106263214 × 6371000     		do = 351.603098643614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34447456--0.34437869) × cos(-0.95744643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575609976931583 × 6371000     		du = 351.575534199785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95739124)-sin(-0.95744643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575655106263214-0.575609976931583)×R²
    abs(-0.34437869--0.34447456)×4.51293316310331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51293316310331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51293316310331e-05×40589641000000     		ar = 123624.249803754m²