Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29174 / 45054
↖ ↑ ↗
← S 55.770393°
W 19.742431°		 ← 343.57 m → S 55.770393°
W 19.736938°		 →
↑
343.59 m
↓
↑
343.59 m
↓
S 55.773483°
W 19.742431°		 ← 343.55 m →
118 043 m²		 S 55.773483°
W 19.736938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445167541503906 y=0.687477111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445167541503906 × 216)
    floor (0.445167541503906 × 65536)
    floor (29174.5)     		tx = 29174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687477111816406 × 216)
    floor (0.687477111816406 × 65536)
    floor (45054.5)     		ty = 45054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29174 / 45054 ti = "16/29174/45054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29174/45054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29174 ÷ 216
    29174 ÷ 65536     		x = 0.445159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45054 ÷ 216
    45054 ÷ 65536     		y = 0.687469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445159912109375 × 2 - 1) × π
    -0.10968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34457043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.37493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17790549746402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34457043} λ = -0.34457043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17790549746402))-π/2
    2×atan(0.307923009176029)-π/2
    2×0.298709666840726-π/2
    0.597419333681452-1.57079632675     		φ = -0.97337699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34457043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.742431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97337699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.770393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29174 KachelY 45054 -0.34457043 -0.97337699 -19.742431 -55.770393
    Oben rechts KachelX + 1 29175 KachelY 45054 -0.34447456 -0.97337699 -19.736938 -55.770393
    Unten links KachelX 29174 KachelY + 1 45055 -0.34457043 -0.97343092 -19.742431 -55.773483
    Unten rechts KachelX + 1 29175 KachelY + 1 45055 -0.34447456 -0.97343092 -19.736938 -55.773483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97337699--0.97343092) × R
    5.39299999999798e-05 × 6371000     		dl = 343.588029999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97337699--0.97343092) × R
    5.39299999999798e-05 × 6371000     		dr = 343.588029999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34457043--0.34447456) × cos(-0.97337699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562510682297614 × 6371000     		do = 343.57464524173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34457043--0.34447456) × cos(-0.97343092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562466092694 × 6371000     		du = 343.547410457174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97337699)-sin(-0.97343092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562510682297614-0.562466092694)×R²
    abs(-0.34447456--0.34457043)×4.45896036138649e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45896036138649e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45896036138649e-05×40589641000000     		ar = 118043.456772376m²