Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29173 / 43919
↖ ↑ ↗
← S 52.103131°
W 19.747925°		 ← 375.21 m → S 52.103131°
W 19.742431°		 →
↑
375.19 m
↓
↑
375.19 m
↓
S 52.106505°
W 19.747925°		 ← 375.18 m →
140 769 m²		 S 52.106505°
W 19.742431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445152282714844 y=0.670158386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445152282714844 × 216)
    floor (0.445152282714844 × 65536)
    floor (29173.5)     		tx = 29173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670158386230469 × 216)
    floor (0.670158386230469 × 65536)
    floor (43919.5)     		ty = 43919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29173 / 43919 ti = "16/29173/43919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29173/43919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29173 ÷ 216
    29173 ÷ 65536     		x = 0.445144653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43919 ÷ 216
    43919 ÷ 65536     		y = 0.670150756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445144653320312 × 2 - 1) × π
    -0.109710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34466631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670150756835938 × 2 - 1) × π
    -0.340301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06908873532649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34466631} λ = -0.34466631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06908873532649))-π/2
    2×atan(0.343321231424316)-π/2
    2×0.330712568510648-π/2
    0.661425137021296-1.57079632675     		φ = -0.90937119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34466631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.747925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90937119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.103131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29173 KachelY 43919 -0.34466631 -0.90937119 -19.747925 -52.103131
    Oben rechts KachelX + 1 29174 KachelY 43919 -0.34457043 -0.90937119 -19.742431 -52.103131
    Unten links KachelX 29173 KachelY + 1 43920 -0.34466631 -0.90943008 -19.747925 -52.106505
    Unten rechts KachelX + 1 29174 KachelY + 1 43920 -0.34457043 -0.90943008 -19.742431 -52.106505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90937119--0.90943008) × R
    5.88900000000336e-05 × 6371000     		dl = 375.188190000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90937119--0.90943008) × R
    5.88900000000336e-05 × 6371000     		dr = 375.188190000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34466631--0.34457043) × cos(-0.90937119) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614242075964501 × 6371000     		do = 375.210681181159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34466631--0.34457043) × cos(-0.90943008) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614195603760768 × 6371000     		du = 375.18229356673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90937119)-sin(-0.90943008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614242075964501-0.614195603760768)×R²
    abs(-0.34457043--0.34466631)×4.64722037325505e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.64722037325505e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.64722037325505e-05×40589641000000     		ar = 140769.291033051m²