Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29172 / 44719
↖ ↑ ↗
← S 54.721447°
W 19.753418°		 ← 352.76 m → S 54.721447°
W 19.747925°		 →
↑
352.76 m
↓
↑
352.76 m
↓
S 54.724620°
W 19.753418°		 ← 352.73 m →
124 436 m²		 S 54.724620°
W 19.747925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445137023925781 y=0.682365417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445137023925781 × 216)
    floor (0.445137023925781 × 65536)
    floor (29172.5)     		tx = 29172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682365417480469 × 216)
    floor (0.682365417480469 × 65536)
    floor (44719.5)     		ty = 44719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29172 / 44719 ti = "16/29172/44719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29172/44719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29172 ÷ 216
    29172 ÷ 65536     		x = 0.44512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44719 ÷ 216
    44719 ÷ 65536     		y = 0.682357788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34476218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682357788085938 × 2 - 1) × π
    -0.364715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14578777471858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34476218} λ = -0.34476218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14578777471858))-π/2
    2×atan(0.317973327750344)-π/2
    2×0.307863446226967-π/2
    0.615726892453933-1.57079632675     		φ = -0.95506943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34476218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95506943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.721447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29172 KachelY 44719 -0.34476218 -0.95506943 -19.753418 -54.721447
    Oben rechts KachelX + 1 29173 KachelY 44719 -0.34466631 -0.95506943 -19.747925 -54.721447
    Unten links KachelX 29172 KachelY + 1 44720 -0.34476218 -0.95512480 -19.753418 -54.724620
    Unten rechts KachelX + 1 29173 KachelY + 1 44720 -0.34466631 -0.95512480 -19.747925 -54.724620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95506943--0.95512480) × R
    5.5369999999999e-05 × 6371000     		dl = 352.762269999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95506943--0.95512480) × R
    5.5369999999999e-05 × 6371000     		dr = 352.762269999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34476218--0.34466631) × cos(-0.95506943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577552079807459 × 6371000     		do = 352.761746884452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34476218--0.34466631) × cos(-0.95512480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577506877409919 × 6371000     		du = 352.73413781286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95506943)-sin(-0.95512480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577552079807459-0.577506877409919)×R²
    abs(-0.34466631--0.34476218)×4.5202397540578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5202397540578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5202397540578e-05×40589641000000     		ar = 124436.164912547m²