Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29171 / 45070
↖ ↑ ↗
← S 55.819802°
W 19.758911°		 ← 343.17 m → S 55.819802°
W 19.753418°		 →
↑
343.14 m
↓
↑
343.14 m
↓
S 55.822888°
W 19.758911°		 ← 343.15 m →
117 753 m²		 S 55.822888°
W 19.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445121765136719 y=0.687721252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445121765136719 × 216)
    floor (0.445121765136719 × 65536)
    floor (29171.5)     		tx = 29171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687721252441406 × 216)
    floor (0.687721252441406 × 65536)
    floor (45070.5)     		ty = 45070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29171 / 45070 ti = "16/29171/45070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29171/45070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29171 ÷ 216
    29171 ÷ 65536     		x = 0.445114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45070 ÷ 216
    45070 ÷ 65536     		y = 0.687713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445114135742188 × 2 - 1) × π
    -0.109771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34485806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.37542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17943947825186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34485806} λ = -0.34485806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17943947825186))-π/2
    2×atan(0.307451023297006)-π/2
    2×0.298278500084272-π/2
    0.596557000168543-1.57079632675     		φ = -0.97423933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34485806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.758911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97423933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.819802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29171 KachelY 45070 -0.34485806 -0.97423933 -19.758911 -55.819802
    Oben rechts KachelX + 1 29172 KachelY 45070 -0.34476218 -0.97423933 -19.753418 -55.819802
    Unten links KachelX 29171 KachelY + 1 45071 -0.34485806 -0.97429319 -19.758911 -55.822888
    Unten rechts KachelX + 1 29172 KachelY + 1 45071 -0.34476218 -0.97429319 -19.753418 -55.822888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97423933--0.97429319) × R
    5.38600000000722e-05 × 6371000     		dl = 343.14206000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97423933--0.97429319) × R
    5.38600000000722e-05 × 6371000     		dr = 343.14206000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34485806--0.34476218) × cos(-0.97423933) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.561797499132698 × 6371000     		do = 343.174833805679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34485806--0.34476218) × cos(-0.97429319) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.561752941297938 × 6371000     		du = 343.147615586371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97423933)-sin(-0.97429319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561797499132698-0.561752941297938)×R²
    abs(-0.34476218--0.34485806)×4.4557834759984e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.4557834759984e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.4557834759984e-05×40589641000000     		ar = 117753.049583304m²