Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29171 / 44721
↖ ↑ ↗
← S 54.727792°
W 19.758911°		 ← 352.74 m → S 54.727792°
W 19.753418°		 →
↑
352.70 m
↓
↑
352.70 m
↓
S 54.730964°
W 19.758911°		 ← 352.72 m →
124 407 m²		 S 54.730964°
W 19.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445121765136719 y=0.682395935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445121765136719 × 216)
    floor (0.445121765136719 × 65536)
    floor (29171.5)     		tx = 29171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682395935058594 × 216)
    floor (0.682395935058594 × 65536)
    floor (44721.5)     		ty = 44721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29171 / 44721 ti = "16/29171/44721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29171/44721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29171 ÷ 216
    29171 ÷ 65536     		x = 0.445114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44721 ÷ 216
    44721 ÷ 65536     		y = 0.682388305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445114135742188 × 2 - 1) × π
    -0.109771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34485806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682388305664062 × 2 - 1) × π
    -0.364776611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14597952231706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34485806} λ = -0.34485806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14597952231706))-π/2
    2×atan(0.317912362973479)-π/2
    2×0.307808078448849-π/2
    0.615616156897699-1.57079632675     		φ = -0.95518017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34485806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.758911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95518017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.727792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29171 KachelY 44721 -0.34485806 -0.95518017 -19.758911 -54.727792
    Oben rechts KachelX + 1 29172 KachelY 44721 -0.34476218 -0.95518017 -19.753418 -54.727792
    Unten links KachelX 29171 KachelY + 1 44722 -0.34485806 -0.95523553 -19.758911 -54.730964
    Unten rechts KachelX + 1 29172 KachelY + 1 44722 -0.34476218 -0.95523553 -19.753418 -54.730964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95518017--0.95523553) × R
    5.53600000000598e-05 × 6371000     		dl = 352.698560000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95518017--0.95523553) × R
    5.53600000000598e-05 × 6371000     		dr = 352.698560000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34485806--0.34476218) × cos(-0.95518017) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.577461673241836 × 6371000     		do = 352.743317743229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34485806--0.34476218) × cos(-0.95523553) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.577416475467848 × 6371000     		du = 352.715708616096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95518017)-sin(-0.95523553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577461673241836-0.577416475467848)×R²
    abs(-0.34476218--0.34485806)×4.51977739881482e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.51977739881482e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.51977739881482e-05×40589641000000     		ar = 124407.191399783m²