Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29169 / 44823
↖ ↑ ↗
← S 55.050056°
W 19.769897°		 ← 349.90 m → S 55.050056°
W 19.764404°		 →
↑
349.90 m
↓
↑
349.90 m
↓
S 55.053203°
W 19.769897°		 ← 349.87 m →
122 422 m²		 S 55.053203°
W 19.764404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445091247558594 y=0.683952331542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445091247558594 × 216)
    floor (0.445091247558594 × 65536)
    floor (29169.5)     		tx = 29169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683952331542969 × 216)
    floor (0.683952331542969 × 65536)
    floor (44823.5)     		ty = 44823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29169 / 44823 ti = "16/29169/44823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29169/44823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29169 ÷ 216
    29169 ÷ 65536     		x = 0.445083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44823 ÷ 216
    44823 ÷ 65536     		y = 0.683944702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34504980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683944702148438 × 2 - 1) × π
    -0.367889404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15575864983955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34504980} λ = -0.34504980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15575864983955))-π/2
    2×atan(0.314818609196284)-π/2
    2×0.304995799046648-π/2
    0.609991598093296-1.57079632675     		φ = -0.96080473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34504980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96080473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.050056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29169 KachelY 44823 -0.34504980 -0.96080473 -19.769897 -55.050056
    Oben rechts KachelX + 1 29170 KachelY 44823 -0.34495393 -0.96080473 -19.764404 -55.050056
    Unten links KachelX 29169 KachelY + 1 44824 -0.34504980 -0.96085965 -19.769897 -55.053203
    Unten rechts KachelX + 1 29170 KachelY + 1 44824 -0.34495393 -0.96085965 -19.764404 -55.053203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96080473--0.96085965) × R
    5.49199999999583e-05 × 6371000     		dl = 349.895319999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96080473--0.96085965) × R
    5.49199999999583e-05 × 6371000     		dr = 349.895319999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34504980--0.34495393) × cos(-0.96080473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572860572409849 × 6371000     		do = 349.896231543127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34504980--0.34495393) × cos(-0.96085965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572815556212419 × 6371000     		du = 349.868736200286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96080473)-sin(-0.96085965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572860572409849-0.572815556212419)×R²
    abs(-0.34495393--0.34504980)×4.50161974293595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50161974293595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50161974293595e-05×40589641000000     		ar = 122422.243687185m²