Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29159 / 43751
↖ ↑ ↗
← S 51.532669°
W 19.824829°		 ← 379.95 m → S 51.532669°
W 19.819336°		 →
↑
379.97 m
↓
↑
379.97 m
↓
S 51.536086°
W 19.824829°		 ← 379.92 m →
144 363 m²		 S 51.536086°
W 19.819336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444938659667969 y=0.667594909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444938659667969 × 216)
    floor (0.444938659667969 × 65536)
    floor (29159.5)     		tx = 29159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667594909667969 × 216)
    floor (0.667594909667969 × 65536)
    floor (43751.5)     		ty = 43751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29159 / 43751 ti = "16/29159/43751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29159/43751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29159 ÷ 216
    29159 ÷ 65536     		x = 0.444931030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43751 ÷ 216
    43751 ÷ 65536     		y = 0.667587280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444931030273438 × 2 - 1) × π
    -0.110137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34600854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667587280273438 × 2 - 1) × π
    -0.335174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05298193705415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34600854} λ = -0.34600854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05298193705415))-π/2
    2×atan(0.348895811039377)-π/2
    2×0.33569079364343-π/2
    0.671381587286859-1.57079632675     		φ = -0.89941474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34600854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.824829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89941474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.532669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29159 KachelY 43751 -0.34600854 -0.89941474 -19.824829 -51.532669
    Oben rechts KachelX + 1 29160 KachelY 43751 -0.34591267 -0.89941474 -19.819336 -51.532669
    Unten links KachelX 29159 KachelY + 1 43752 -0.34600854 -0.89947438 -19.824829 -51.536086
    Unten rechts KachelX + 1 29160 KachelY + 1 43752 -0.34591267 -0.89947438 -19.819336 -51.536086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89941474--0.89947438) × R
    5.96400000000274e-05 × 6371000     		dl = 379.966440000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89941474--0.89947438) × R
    5.96400000000274e-05 × 6371000     		dr = 379.966440000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34600854--0.34591267) × cos(-0.89941474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62206831169182 × 6371000     		do = 379.951716885904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34600854--0.34591267) × cos(-0.89947438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622021614673869 × 6371000     		du = 379.923194918443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89941474)-sin(-0.89947438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62206831169182-0.622021614673869)×R²
    abs(-0.34591267--0.34600854)×4.66970179515691e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66970179515691e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66970179515691e-05×40589641000000     		ar = 144363.482584841m²