Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29158 / 44574
↖ ↑ ↗
← S 54.258807°
W 19.830323°		 ← 356.81 m → S 54.258807°
W 19.824829°		 →
↑
356.78 m
↓
↑
356.78 m
↓
S 54.262016°
W 19.830323°		 ← 356.79 m →
127 298 m²		 S 54.262016°
W 19.824829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444923400878906 y=0.680152893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444923400878906 × 216)
    floor (0.444923400878906 × 65536)
    floor (29158.5)     		tx = 29158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680152893066406 × 216)
    floor (0.680152893066406 × 65536)
    floor (44574.5)     		ty = 44574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29158 / 44574 ti = "16/29158/44574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29158/44574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29158 ÷ 216
    29158 ÷ 65536     		x = 0.444915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44574 ÷ 216
    44574 ÷ 65536     		y = 0.680145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.11016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34610442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.36029052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13188607382877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34610442} λ = -0.34610442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13188607382877))-π/2
    2×atan(0.322424566049425)-π/2
    2×0.311900746571143-π/2
    0.623801493142286-1.57079632675     		φ = -0.94699483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34610442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.830323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94699483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.258807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29158 KachelY 44574 -0.34610442 -0.94699483 -19.830323 -54.258807
    Oben rechts KachelX + 1 29159 KachelY 44574 -0.34600854 -0.94699483 -19.824829 -54.258807
    Unten links KachelX 29158 KachelY + 1 44575 -0.34610442 -0.94705083 -19.830323 -54.262016
    Unten rechts KachelX + 1 29159 KachelY + 1 44575 -0.34600854 -0.94705083 -19.824829 -54.262016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94699483--0.94705083) × R
    5.6000000000056e-05 × 6371000     		dl = 356.776000000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94699483--0.94705083) × R
    5.6000000000056e-05 × 6371000     		dr = 356.776000000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34610442--0.34600854) × cos(-0.94699483) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.584124911055482 × 6371000     		do = 356.813566423289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34610442--0.34600854) × cos(-0.94705083) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.584079456968038 × 6371000     		du = 356.785800726701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94699483)-sin(-0.94705083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584124911055482-0.584079456968038)×R²
    abs(-0.34600854--0.34610442)×4.54540874441633e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.54540874441633e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.54540874441633e-05×40589641000000     		ar = 127297.56394029m²