Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29155 / 45031
↖ ↑ ↗
← S 55.699260°
W 19.846802°		 ← 344.24 m → S 55.699260°
W 19.841308°		 →
↑
344.23 m
↓
↑
344.23 m
↓
S 55.702355°
W 19.846802°		 ← 344.21 m →
118 490 m²		 S 55.702355°
W 19.841308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444877624511719 y=0.687126159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444877624511719 × 216)
    floor (0.444877624511719 × 65536)
    floor (29155.5)     		tx = 29155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687126159667969 × 216)
    floor (0.687126159667969 × 65536)
    floor (45031.5)     		ty = 45031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29155 / 45031 ti = "16/29155/45031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29155/45031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29155 ÷ 216
    29155 ÷ 65536     		x = 0.444869995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45031 ÷ 216
    45031 ÷ 65536     		y = 0.687118530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444869995117188 × 2 - 1) × π
    -0.110260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34639204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687118530273438 × 2 - 1) × π
    -0.374237060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1757004000815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34639204} λ = -0.34639204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1757004000815))-π/2
    2×atan(0.308602758578959)-π/2
    2×0.299330427794222-π/2
    0.598660855588443-1.57079632675     		φ = -0.97213547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34639204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.846802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97213547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.699260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29155 KachelY 45031 -0.34639204 -0.97213547 -19.846802 -55.699260
    Oben rechts KachelX + 1 29156 KachelY 45031 -0.34629616 -0.97213547 -19.841308 -55.699260
    Unten links KachelX 29155 KachelY + 1 45032 -0.34639204 -0.97218950 -19.846802 -55.702355
    Unten rechts KachelX + 1 29156 KachelY + 1 45032 -0.34629616 -0.97218950 -19.841308 -55.702355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97213547--0.97218950) × R
    5.40300000000382e-05 × 6371000     		dl = 344.225130000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97213547--0.97218950) × R
    5.40300000000382e-05 × 6371000     		dr = 344.225130000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34639204--0.34629616) × cos(-0.97213547) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.563536724856863 × 6371000     		do = 344.237242413141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34639204--0.34629616) × cos(-0.97218950) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.563492090336969 × 6371000     		du = 344.209977350605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97213547)-sin(-0.97218950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563536724856863-0.563492090336969)×R²
    abs(-0.34629616--0.34639204)×4.46345198943376e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46345198943376e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46345198943376e-05×40589641000000     		ar = 118490.416889488m²