Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29154 / 44429
↖ ↑ ↗
← S 53.790917°
W 19.852295°		 ← 360.81 m → S 53.790917°
W 19.846802°		 →
↑
360.79 m
↓
↑
360.79 m
↓
S 53.794162°
W 19.852295°		 ← 360.78 m →
130 173 m²		 S 53.794162°
W 19.846802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444862365722656 y=0.677940368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444862365722656 × 216)
    floor (0.444862365722656 × 65536)
    floor (29154.5)     		tx = 29154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677940368652344 × 216)
    floor (0.677940368652344 × 65536)
    floor (44429.5)     		ty = 44429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29154 / 44429 ti = "16/29154/44429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29154/44429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29154 ÷ 216
    29154 ÷ 65536     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44429 ÷ 216
    44429 ÷ 65536     		y = 0.677932739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677932739257812 × 2 - 1) × π
    -0.355865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11798437293895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11798437293895))-π/2
    2×atan(0.326938116249115)-π/2
    2×0.315983859041843-π/2
    0.631967718083687-1.57079632675     		φ = -0.93882861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93882861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.790917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29154 KachelY 44429 -0.34648791 -0.93882861 -19.852295 -53.790917
    Oben rechts KachelX + 1 29155 KachelY 44429 -0.34639204 -0.93882861 -19.846802 -53.790917
    Unten links KachelX 29154 KachelY + 1 44430 -0.34648791 -0.93888524 -19.852295 -53.794162
    Unten rechts KachelX + 1 29155 KachelY + 1 44430 -0.34639204 -0.93888524 -19.846802 -53.794162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93882861--0.93888524) × R
    5.6630000000002e-05 × 6371000     		dl = 360.789730000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93882861--0.93888524) × R
    5.6630000000002e-05 × 6371000     		dr = 360.789730000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34639204) × cos(-0.93882861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590733585657887 × 6371000     		do = 360.812849448077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34639204) × cos(-0.93888524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590687891850894 × 6371000     		du = 360.784940229601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93882861)-sin(-0.93888524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590733585657887-0.590687891850894)×R²
    abs(-0.34639204--0.34648791)×4.56938069937074e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56938069937074e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56938069937074e-05×40589641000000     		ar = 130172.535888041m²