Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29149 / 44758
↖ ↑ ↗
← S 54.844990°
W 19.879761°		 ← 351.69 m → S 54.844990°
W 19.874268°		 →
↑
351.68 m
↓
↑
351.68 m
↓
S 54.848153°
W 19.879761°		 ← 351.66 m →
123 676 m²		 S 54.848153°
W 19.874268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444786071777344 y=0.682960510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444786071777344 × 216)
    floor (0.444786071777344 × 65536)
    floor (29149.5)     		tx = 29149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682960510253906 × 216)
    floor (0.682960510253906 × 65536)
    floor (44758.5)     		ty = 44758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29149 / 44758 ti = "16/29149/44758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29149/44758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29149 ÷ 216
    29149 ÷ 65536     		x = 0.444778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44758 ÷ 216
    44758 ÷ 65536     		y = 0.682952880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444778442382812 × 2 - 1) × π
    -0.110443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34696728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682952880859375 × 2 - 1) × π
    -0.36590576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14952685288895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34696728} λ = -0.34696728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14952685288895))-π/2
    2×atan(0.316786620599779)-π/2
    2×0.306785337137-π/2
    0.613570674274-1.57079632675     		φ = -0.95722565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34696728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.879761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95722565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.844990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29149 KachelY 44758 -0.34696728 -0.95722565 -19.879761 -54.844990
    Oben rechts KachelX + 1 29150 KachelY 44758 -0.34687141 -0.95722565 -19.874268 -54.844990
    Unten links KachelX 29149 KachelY + 1 44759 -0.34696728 -0.95728085 -19.879761 -54.848153
    Unten rechts KachelX + 1 29150 KachelY + 1 44759 -0.34687141 -0.95728085 -19.874268 -54.848153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95722565--0.95728085) × R
    5.5199999999922e-05 × 6371000     		dl = 351.679199999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95722565--0.95728085) × R
    5.5199999999922e-05 × 6371000     		dr = 351.679199999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34696728--0.34687141) × cos(-0.95722565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57579050008905 × 6371000     		do = 351.685795536568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34696728--0.34687141) × cos(-0.95728085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575745367842403 × 6371000     		du = 351.658229312283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95722565)-sin(-0.95728085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57579050008905-0.575745367842403)×R²
    abs(-0.34687141--0.34696728)×4.51322466475945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51322466475945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51322466475945e-05×40589641000000     		ar = 123675.732023032m²