Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29148 / 44804
↖ ↑ ↗
← S 54.990222°
W 19.885254°		 ← 350.42 m → S 54.990222°
W 19.879761°		 →
↑
350.41 m
↓
↑
350.41 m
↓
S 54.993373°
W 19.885254°		 ← 350.39 m →
122 784 m²		 S 54.993373°
W 19.879761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444770812988281 y=0.683662414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444770812988281 × 216)
    floor (0.444770812988281 × 65536)
    floor (29148.5)     		tx = 29148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683662414550781 × 216)
    floor (0.683662414550781 × 65536)
    floor (44804.5)     		ty = 44804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29148 / 44804 ti = "16/29148/44804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29148/44804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29148 ÷ 216
    29148 ÷ 65536     		x = 0.44476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44804 ÷ 216
    44804 ÷ 65536     		y = 0.68365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.1104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34706315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3673095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15393704765399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34706315} λ = -0.34706315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15393704765399))-π/2
    2×atan(0.315392606101139)-π/2
    2×0.305517950698633-π/2
    0.611035901397266-1.57079632675     		φ = -0.95976043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34706315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.885254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95976043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.990222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29148 KachelY 44804 -0.34706315 -0.95976043 -19.885254 -54.990222
    Oben rechts KachelX + 1 29149 KachelY 44804 -0.34696728 -0.95976043 -19.879761 -54.990222
    Unten links KachelX 29148 KachelY + 1 44805 -0.34706315 -0.95981543 -19.885254 -54.993373
    Unten rechts KachelX + 1 29149 KachelY + 1 44805 -0.34696728 -0.95981543 -19.879761 -54.993373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95976043--0.95981543) × R
    5.50000000000272e-05 × 6371000     		dl = 350.405000000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95976043--0.95981543) × R
    5.50000000000272e-05 × 6371000     		dr = 350.405000000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34706315--0.34696728) × cos(-0.95976043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573716223336356 × 6371000     		do = 350.418852664427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34706315--0.34696728) × cos(-0.95981543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573671174490569 × 6371000     		du = 350.391337380368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95976043)-sin(-0.95981543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573716223336356-0.573671174490569)×R²
    abs(-0.34696728--0.34706315)×4.50488457867104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50488457867104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50488457867104e-05×40589641000000     		ar = 122783.697352575m²