Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29148 / 43910
↖ ↑ ↗
← S 52.072754°
W 19.885254°		 ← 375.43 m → S 52.072754°
W 19.879761°		 →
↑
375.44 m
↓
↑
375.44 m
↓
S 52.076130°
W 19.885254°		 ← 375.40 m →
140 946 m²		 S 52.076130°
W 19.879761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444770812988281 y=0.670021057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444770812988281 × 216)
    floor (0.444770812988281 × 65536)
    floor (29148.5)     		tx = 29148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670021057128906 × 216)
    floor (0.670021057128906 × 65536)
    floor (43910.5)     		ty = 43910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29148 / 43910 ti = "16/29148/43910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29148/43910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29148 ÷ 216
    29148 ÷ 65536     		x = 0.44476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43910 ÷ 216
    43910 ÷ 65536     		y = 0.670013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.1104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34706315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.34002685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06822587113333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34706315} λ = -0.34706315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06822587113333))-π/2
    2×atan(0.343617598865702)-π/2
    2×0.330977662486136-π/2
    0.661955324972272-1.57079632675     		φ = -0.90884100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34706315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.885254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90884100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.072754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29148 KachelY 43910 -0.34706315 -0.90884100 -19.885254 -52.072754
    Oben rechts KachelX + 1 29149 KachelY 43910 -0.34696728 -0.90884100 -19.879761 -52.072754
    Unten links KachelX 29148 KachelY + 1 43911 -0.34706315 -0.90889993 -19.885254 -52.076130
    Unten rechts KachelX + 1 29149 KachelY + 1 43911 -0.34696728 -0.90889993 -19.879761 -52.076130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90884100--0.90889993) × R
    5.89300000000126e-05 × 6371000     		dl = 375.44303000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90884100--0.90889993) × R
    5.89300000000126e-05 × 6371000     		dr = 375.44303000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34706315--0.34696728) × cos(-0.90884100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614660371901798 × 6371000     		do = 375.427037861262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34706315--0.34696728) × cos(-0.90889993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61461388732916 × 6371000     		du = 375.3986456528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90884100)-sin(-0.90889993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614660371901798-0.61461388732916)×R²
    abs(-0.34696728--0.34706315)×4.648457263845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.648457263845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.648457263845e-05×40589641000000     		ar = 140946.134850778m²