Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29146 / 44438
↖ ↑ ↗
← S 53.820112°
W 19.896240°		 ← 360.56 m → S 53.820112°
W 19.890747°		 →
↑
360.60 m
↓
↑
360.60 m
↓
S 53.823354°
W 19.896240°		 ← 360.53 m →
130 013 m²		 S 53.823354°
W 19.890747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444740295410156 y=0.678077697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444740295410156 × 216)
    floor (0.444740295410156 × 65536)
    floor (29146.5)     		tx = 29146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678077697753906 × 216)
    floor (0.678077697753906 × 65536)
    floor (44438.5)     		ty = 44438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29146 / 44438 ti = "16/29146/44438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29146/44438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29146 ÷ 216
    29146 ÷ 65536     		x = 0.444732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44438 ÷ 216
    44438 ÷ 65536     		y = 0.678070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.11053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34725490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.35614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11884723713211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34725490} λ = -0.34725490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11884723713211))-π/2
    2×atan(0.326656134728598)-π/2
    2×0.315729086321803-π/2
    0.631458172643607-1.57079632675     		φ = -0.93933815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34725490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.896240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93933815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.820112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29146 KachelY 44438 -0.34725490 -0.93933815 -19.896240 -53.820112
    Oben rechts KachelX + 1 29147 KachelY 44438 -0.34715903 -0.93933815 -19.890747 -53.820112
    Unten links KachelX 29146 KachelY + 1 44439 -0.34725490 -0.93939475 -19.896240 -53.823354
    Unten rechts KachelX + 1 29147 KachelY + 1 44439 -0.34715903 -0.93939475 -19.890747 -53.823354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93933815--0.93939475) × R
    5.65999999999622e-05 × 6371000     		dl = 360.598599999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93933815--0.93939475) × R
    5.65999999999622e-05 × 6371000     		dr = 360.598599999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34725490--0.34715903) × cos(-0.93933815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590322378143863 × 6371000     		do = 360.561688927579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34725490--0.34715903) × cos(-0.93939475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590276691513725 × 6371000     		du = 360.533784092638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93933815)-sin(-0.93939475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590322378143863-0.590276691513725)×R²
    abs(-0.34715903--0.34725490)×4.5686630137487e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5686630137487e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5686630137487e-05×40589641000000     		ar = 130013.009053532m²