Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29143 / 45007
↖ ↑ ↗
← S 55.624895°
W 19.912720°		 ← 344.86 m → S 55.624895°
W 19.907227°		 →
↑
344.86 m
↓
↑
344.86 m
↓
S 55.627996°
W 19.912720°		 ← 344.83 m →
118 923 m²		 S 55.627996°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444694519042969 y=0.686759948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444694519042969 × 216)
    floor (0.444694519042969 × 65536)
    floor (29143.5)     		tx = 29143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686759948730469 × 216)
    floor (0.686759948730469 × 65536)
    floor (45007.5)     		ty = 45007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29143 / 45007 ti = "16/29143/45007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29143/45007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29143 ÷ 216
    29143 ÷ 65536     		x = 0.444686889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45007 ÷ 216
    45007 ÷ 65536     		y = 0.686752319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444686889648438 × 2 - 1) × π
    -0.110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34754252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686752319335938 × 2 - 1) × π
    -0.373504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17339942889973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34754252} λ = -0.34754252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17339942889973))-π/2
    2×atan(0.309313662203784)-π/2
    2×0.29997938507038-π/2
    0.59995877014076-1.57079632675     		φ = -0.97083756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34754252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.912720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97083756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.624895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29143 KachelY 45007 -0.34754252 -0.97083756 -19.912720 -55.624895
    Oben rechts KachelX + 1 29144 KachelY 45007 -0.34744665 -0.97083756 -19.907227 -55.624895
    Unten links KachelX 29143 KachelY + 1 45008 -0.34754252 -0.97089169 -19.912720 -55.627996
    Unten rechts KachelX + 1 29144 KachelY + 1 45008 -0.34744665 -0.97089169 -19.907227 -55.627996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97083756--0.97089169) × R
    5.41299999999856e-05 × 6371000     		dl = 344.862229999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97083756--0.97089169) × R
    5.41299999999856e-05 × 6371000     		dr = 344.862229999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34754252--0.34744665) × cos(-0.97083756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56460844168236 × 6371000     		do = 344.855931018336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34754252--0.34744665) × cos(-0.97089169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564563764178162 × 6371000     		du = 344.828642545178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97083756)-sin(-0.97089169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56460844168236-0.564563764178162)×R²
    abs(-0.34744665--0.34754252)×4.46775041983427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46775041983427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46775041983427e-05×40589641000000     		ar = 118923.080046779m²