Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29143 / 44953
↖ ↑ ↗
← S 55.457056°
W 19.912720°		 ← 346.33 m → S 55.457056°
W 19.907227°		 →
↑
346.33 m
↓
↑
346.33 m
↓
S 55.460171°
W 19.912720°		 ← 346.30 m →
119 939 m²		 S 55.460171°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444694519042969 y=0.685935974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444694519042969 × 216)
    floor (0.444694519042969 × 65536)
    floor (29143.5)     		tx = 29143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685935974121094 × 216)
    floor (0.685935974121094 × 65536)
    floor (44953.5)     		ty = 44953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29143 / 44953 ti = "16/29143/44953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29143/44953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29143 ÷ 216
    29143 ÷ 65536     		x = 0.444686889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44953 ÷ 216
    44953 ÷ 65536     		y = 0.685928344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444686889648438 × 2 - 1) × π
    -0.110626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34754252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685928344726562 × 2 - 1) × π
    -0.371856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16822224374077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34754252} λ = -0.34754252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16822224374077))-π/2
    2×atan(0.310919188773266)-π/2
    2×0.30144405126894-π/2
    0.60288810253788-1.57079632675     		φ = -0.96790822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34754252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.912720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96790822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.457056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29143 KachelY 44953 -0.34754252 -0.96790822 -19.912720 -55.457056
    Oben rechts KachelX + 1 29144 KachelY 44953 -0.34744665 -0.96790822 -19.907227 -55.457056
    Unten links KachelX 29143 KachelY + 1 44954 -0.34754252 -0.96796258 -19.912720 -55.460171
    Unten rechts KachelX + 1 29144 KachelY + 1 44954 -0.34744665 -0.96796258 -19.907227 -55.460171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96790822--0.96796258) × R
    5.43600000000311e-05 × 6371000     		dl = 346.327560000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96790822--0.96796258) × R
    5.43600000000311e-05 × 6371000     		dr = 346.327560000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34754252--0.34744665) × cos(-0.96790822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56702377259357 × 6371000     		do = 346.331185599406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34754252--0.34744665) × cos(-0.96796258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566978995346225 × 6371000     		du = 346.303836204353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96790822)-sin(-0.96796258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56702377259357-0.566978995346225)×R²
    abs(-0.34744665--0.34754252)×4.47772473456398e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47772473456398e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47772473456398e-05×40589641000000     		ar = 119939.298565477m²