Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29142 / 43805
↖ ↑ ↗
← S 51.716820°
W 19.918213°		 ← 378.45 m → S 51.716820°
W 19.912720°		 →
↑
378.37 m
↓
↑
378.37 m
↓
S 51.720222°
W 19.918213°		 ← 378.42 m →
143 191 m²		 S 51.720222°
W 19.912720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444679260253906 y=0.668418884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444679260253906 × 216)
    floor (0.444679260253906 × 65536)
    floor (29142.5)     		tx = 29142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668418884277344 × 216)
    floor (0.668418884277344 × 65536)
    floor (43805.5)     		ty = 43805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29142 / 43805 ti = "16/29142/43805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29142/43805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29142 ÷ 216
    29142 ÷ 65536     		x = 0.444671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43805 ÷ 216
    43805 ÷ 65536     		y = 0.668411254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.11065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34763840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668411254882812 × 2 - 1) × π
    -0.336822509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05815912221312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34763840} λ = -0.34763840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05815912221312))-π/2
    2×atan(0.347094180535918)-π/2
    2×0.334083774264592-π/2
    0.668167548529184-1.57079632675     		φ = -0.90262878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34763840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.918213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90262878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.716820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29142 KachelY 43805 -0.34763840 -0.90262878 -19.918213 -51.716820
    Oben rechts KachelX + 1 29143 KachelY 43805 -0.34754252 -0.90262878 -19.912720 -51.716820
    Unten links KachelX 29142 KachelY + 1 43806 -0.34763840 -0.90268817 -19.918213 -51.720222
    Unten rechts KachelX + 1 29143 KachelY + 1 43806 -0.34754252 -0.90268817 -19.912720 -51.720222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90262878--0.90268817) × R
    5.93899999999925e-05 × 6371000     		dl = 378.373689999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90262878--0.90268817) × R
    5.93899999999925e-05 × 6371000     		dr = 378.373689999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34763840--0.34754252) × cos(-0.90262878) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619548628717122 × 6371000     		do = 378.452196783795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34763840--0.34754252) × cos(-0.90268817) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.61950200895245 × 6371000     		du = 378.423719031548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90262878)-sin(-0.90268817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619548628717122-0.61950200895245)×R²
    abs(-0.34754252--0.34763840)×4.66197646719069e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66197646719069e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66197646719069e-05×40589641000000     		ar = 143190.966611869m²