Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29141 / 45021
↖ ↑ ↗
← S 55.668291°
W 19.923706°		 ← 344.47 m → S 55.668291°
W 19.918213°		 →
↑
344.48 m
↓
↑
344.48 m
↓
S 55.671389°
W 19.923706°		 ← 344.45 m →
118 660 m²		 S 55.671389°
W 19.918213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444664001464844 y=0.686973571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444664001464844 × 216)
    floor (0.444664001464844 × 65536)
    floor (29141.5)     		tx = 29141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686973571777344 × 216)
    floor (0.686973571777344 × 65536)
    floor (45021.5)     		ty = 45021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29141 / 45021 ti = "16/29141/45021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29141/45021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29141 ÷ 216
    29141 ÷ 65536     		x = 0.444656372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45021 ÷ 216
    45021 ÷ 65536     		y = 0.686965942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444656372070312 × 2 - 1) × π
    -0.110687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34773427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686965942382812 × 2 - 1) × π
    -0.373931884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1747416620891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34773427} λ = -0.34773427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1747416620891))-π/2
    2×atan(0.308898769644021)-π/2
    2×0.299600676819851-π/2
    0.599201353639703-1.57079632675     		φ = -0.97159497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34773427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.923706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97159497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.668291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29141 KachelY 45021 -0.34773427 -0.97159497 -19.923706 -55.668291
    Oben rechts KachelX + 1 29142 KachelY 45021 -0.34763840 -0.97159497 -19.918213 -55.668291
    Unten links KachelX 29141 KachelY + 1 45022 -0.34773427 -0.97164904 -19.923706 -55.671389
    Unten rechts KachelX + 1 29142 KachelY + 1 45022 -0.34763840 -0.97164904 -19.918213 -55.671389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97159497--0.97164904) × R
    5.40700000000172e-05 × 6371000     		dl = 344.479970000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97159497--0.97164904) × R
    5.40700000000172e-05 × 6371000     		dr = 344.479970000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34773427--0.34763840) × cos(-0.97159497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56398314471111 × 6371000     		do = 344.474007275679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34773427--0.34763840) × cos(-0.97164904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563938493621496 × 6371000     		du = 344.446734936225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97159497)-sin(-0.97164904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56398314471111-0.563938493621496)×R²
    abs(-0.34763840--0.34773427)×4.46510896141561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46510896141561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46510896141561e-05×40589641000000     		ar = 118659.698333631m²