Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29139 / 44545
↖ ↑ ↗
← S 54.165650°
W 19.934693°		 ← 357.62 m → S 54.165650°
W 19.929199°		 →
↑
357.60 m
↓
↑
357.60 m
↓
S 54.168866°
W 19.934693°		 ← 357.59 m →
127 881 m²		 S 54.168866°
W 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444633483886719 y=0.679710388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444633483886719 × 216)
    floor (0.444633483886719 × 65536)
    floor (29139.5)     		tx = 29139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679710388183594 × 216)
    floor (0.679710388183594 × 65536)
    floor (44545.5)     		ty = 44545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29139 / 44545 ti = "16/29139/44545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29139/44545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29139 ÷ 216
    29139 ÷ 65536     		x = 0.444625854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44545 ÷ 216
    44545 ÷ 65536     		y = 0.679702758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444625854492188 × 2 - 1) × π
    -0.110748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34792602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679702758789062 × 2 - 1) × π
    -0.359405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1291057336508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34792602} λ = -0.34792602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1291057336508))-π/2
    2×atan(0.32332226339849)-π/2
    2×0.312713696136236-π/2
    0.625427392272472-1.57079632675     		φ = -0.94536893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34792602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.934693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94536893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.165650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29139 KachelY 44545 -0.34792602 -0.94536893 -19.934693 -54.165650
    Oben rechts KachelX + 1 29140 KachelY 44545 -0.34783014 -0.94536893 -19.929199 -54.165650
    Unten links KachelX 29139 KachelY + 1 44546 -0.34792602 -0.94542506 -19.934693 -54.168866
    Unten rechts KachelX + 1 29140 KachelY + 1 44546 -0.34783014 -0.94542506 -19.929199 -54.168866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94536893--0.94542506) × R
    5.61300000000431e-05 × 6371000     		dl = 357.604230000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94536893--0.94542506) × R
    5.61300000000431e-05 × 6371000     		dr = 357.604230000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34792602--0.34783014) × cos(-0.94536893) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585443822528686 × 6371000     		do = 357.619225448478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34792602--0.34783014) × cos(-0.94542506) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585398316287083 × 6371000     		du = 357.591427893445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94536893)-sin(-0.94542506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585443822528686-0.585398316287083)×R²
    abs(-0.34783014--0.34792602)×4.5506241603821e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5506241603821e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5506241603821e-05×40589641000000     		ar = 127881.177521721m²