Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29138 / 44639
↖ ↑ ↗
← S 54.466845°
W 19.940185°		 ← 354.97 m → S 54.466845°
W 19.934693°		 →
↑
354.99 m
↓
↑
354.99 m
↓
S 54.470038°
W 19.940185°		 ← 354.95 m →
126 008 m²		 S 54.470038°
W 19.934693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444618225097656 y=0.681144714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444618225097656 × 216)
    floor (0.444618225097656 × 65536)
    floor (29138.5)     		tx = 29138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681144714355469 × 216)
    floor (0.681144714355469 × 65536)
    floor (44639.5)     		ty = 44639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29138 / 44639 ti = "16/29138/44639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29138/44639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29138 ÷ 216
    29138 ÷ 65536     		x = 0.444610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44639 ÷ 216
    44639 ÷ 65536     		y = 0.681137084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681137084960938 × 2 - 1) × π
    -0.362274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13811787077937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34802189} λ = -0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13811787077937))-π/2
    2×atan(0.320421529363246)-π/2
    2×0.310085271983303-π/2
    0.620170543966606-1.57079632675     		φ = -0.95062578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95062578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.466845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29138 KachelY 44639 -0.34802189 -0.95062578 -19.940185 -54.466845
    Oben rechts KachelX + 1 29139 KachelY 44639 -0.34792602 -0.95062578 -19.934693 -54.466845
    Unten links KachelX 29138 KachelY + 1 44640 -0.34802189 -0.95068150 -19.940185 -54.470038
    Unten rechts KachelX + 1 29139 KachelY + 1 44640 -0.34792602 -0.95068150 -19.934693 -54.470038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95062578--0.95068150) × R
    5.57199999999813e-05 × 6371000     		dl = 354.992119999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95062578--0.95068150) × R
    5.57199999999813e-05 × 6371000     		dr = 354.992119999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34802189--0.34792602) × cos(-0.95062578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581173956448796 × 6371000     		do = 354.97394484143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34802189--0.34792602) × cos(-0.95068150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581128611761183 × 6371000     		du = 354.946248860801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95062578)-sin(-0.95068150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581173956448796-0.581128611761183)×R²
    abs(-0.34792602--0.34802189)×4.53446876129693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53446876129693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53446876129693e-05×40589641000000     		ar = 126008.03732901m²