Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29136 / 45038
↖ ↑ ↗
← S 55.720923°
W 19.951172°		 ← 344.01 m → S 55.720923°
W 19.945679°		 →
↑
343.97 m
↓
↑
343.97 m
↓
S 55.724016°
W 19.951172°		 ← 343.98 m →
118 325 m²		 S 55.724016°
W 19.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444587707519531 y=0.687232971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444587707519531 × 216)
    floor (0.444587707519531 × 65536)
    floor (29136.5)     		tx = 29136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687232971191406 × 216)
    floor (0.687232971191406 × 65536)
    floor (45038.5)     		ty = 45038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29136 / 45038 ti = "16/29136/45038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29136/45038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29136 ÷ 216
    29136 ÷ 65536     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45038 ÷ 216
    45038 ÷ 65536     		y = 0.687225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.37445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17637151667618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17637151667618))-π/2
    2×atan(0.308395719627921)-π/2
    2×0.299141380784174-π/2
    0.598282761568348-1.57079632675     		φ = -0.97251357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97251357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.720923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29136 KachelY 45038 -0.34821364 -0.97251357 -19.951172 -55.720923
    Oben rechts KachelX + 1 29137 KachelY 45038 -0.34811777 -0.97251357 -19.945679 -55.720923
    Unten links KachelX 29136 KachelY + 1 45039 -0.34821364 -0.97256756 -19.951172 -55.724016
    Unten rechts KachelX + 1 29137 KachelY + 1 45039 -0.34811777 -0.97256756 -19.945679 -55.724016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97251357--0.97256756) × R
    5.39899999999482e-05 × 6371000     		dl = 343.97028999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97251357--0.97256756) × R
    5.39899999999482e-05 × 6371000     		dr = 343.97028999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(-0.97251357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563224339571258 × 6371000     		do = 344.010538376444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(-0.97256756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563179726596041 × 6371000     		du = 343.983289316798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97251357)-sin(-0.97256756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563224339571258-0.563179726596041)×R²
    abs(-0.34811777--0.34821364)×4.46129752167401e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46129752167401e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46129752167401e-05×40589641000000     		ar = 118324.718243745m²