Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29136 / 44782
↖ ↑ ↗
← S 54.920828°
W 19.951172°		 ← 351.02 m → S 54.920828°
W 19.945679°		 →
↑
351.04 m
↓
↑
351.04 m
↓
S 54.923985°
W 19.951172°		 ← 351 m →
123 220 m²		 S 54.923985°
W 19.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444587707519531 y=0.683326721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444587707519531 × 216)
    floor (0.444587707519531 × 65536)
    floor (29136.5)     		tx = 29136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683326721191406 × 216)
    floor (0.683326721191406 × 65536)
    floor (44782.5)     		ty = 44782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29136 / 44782 ti = "16/29136/44782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29136/44782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29136 ÷ 216
    29136 ÷ 65536     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44782 ÷ 216
    44782 ÷ 65536     		y = 0.683319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.36663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15182782407071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15182782407071))-π/2
    2×atan(0.316058541680549)-π/2
    2×0.30612352138069-π/2
    0.61224704276138-1.57079632675     		φ = -0.95854928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95854928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.920828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29136 KachelY 44782 -0.34821364 -0.95854928 -19.951172 -54.920828
    Oben rechts KachelX + 1 29137 KachelY 44782 -0.34811777 -0.95854928 -19.945679 -54.920828
    Unten links KachelX 29136 KachelY + 1 44783 -0.34821364 -0.95860438 -19.951172 -54.923985
    Unten rechts KachelX + 1 29137 KachelY + 1 44783 -0.34811777 -0.95860438 -19.945679 -54.923985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95854928--0.95860438) × R
    5.51000000000856e-05 × 6371000     		dl = 351.042100000546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95854928--0.95860438) × R
    5.51000000000856e-05 × 6371000     		dr = 351.042100000546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(-0.95854928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574707799735884 × 6371000     		do = 351.02449540228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(-0.95860438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574662707299698 × 6371000     		du = 350.996953493738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95854928)-sin(-0.95860438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574707799735884-0.574662707299698)×R²
    abs(-0.34811777--0.34821364)×4.50924361862226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50924361862226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50924361862226e-05×40589641000000     		ar = 123219.541864502m²