Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29136 / 43889
↖ ↑ ↗
← S 52.001792°
W 19.951172°		 ← 376.02 m → S 52.001792°
W 19.945679°		 →
↑
376.02 m
↓
↑
376.02 m
↓
S 52.005174°
W 19.951172°		 ← 376 m →
141 386 m²		 S 52.005174°
W 19.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444587707519531 y=0.669700622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444587707519531 × 216)
    floor (0.444587707519531 × 65536)
    floor (29136.5)     		tx = 29136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669700622558594 × 216)
    floor (0.669700622558594 × 65536)
    floor (43889.5)     		ty = 43889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29136 / 43889 ti = "16/29136/43889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29136/43889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29136 ÷ 216
    29136 ÷ 65536     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43889 ÷ 216
    43889 ÷ 65536     		y = 0.669692993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669692993164062 × 2 - 1) × π
    -0.339385986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06621252134929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06621252134929))-π/2
    2×atan(0.344310118192058)-π/2
    2×0.331596917083361-π/2
    0.663193834166723-1.57079632675     		φ = -0.90760249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90760249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.001792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29136 KachelY 43889 -0.34821364 -0.90760249 -19.951172 -52.001792
    Oben rechts KachelX + 1 29137 KachelY 43889 -0.34811777 -0.90760249 -19.945679 -52.001792
    Unten links KachelX 29136 KachelY + 1 43890 -0.34821364 -0.90766151 -19.951172 -52.005174
    Unten rechts KachelX + 1 29137 KachelY + 1 43890 -0.34811777 -0.90766151 -19.945679 -52.005174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90760249--0.90766151) × R
    5.90199999999097e-05 × 6371000     		dl = 376.016419999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90760249--0.90766151) × R
    5.90199999999097e-05 × 6371000     		dr = 376.016419999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(-0.90760249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615636826865324 × 6371000     		do = 376.023444610939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34811777) × cos(-0.90766151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61559031626189 × 6371000     		du = 375.995036503186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90760249)-sin(-0.90766151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615636826865324-0.61559031626189)×R²
    abs(-0.34811777--0.34821364)×4.6510603433525e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6510603433525e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6510603433525e-05×40589641000000     		ar = 141385.648561868m²