Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29135 / 44991
↖ ↑ ↗
← S 55.575239°
W 19.956665°		 ← 345.29 m → S 55.575239°
W 19.951172°		 →
↑
345.31 m
↓
↑
345.31 m
↓
S 55.578345°
W 19.956665°		 ← 345.27 m →
119 228 m²		 S 55.578345°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444572448730469 y=0.686515808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444572448730469 × 216)
    floor (0.444572448730469 × 65536)
    floor (29135.5)     		tx = 29135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686515808105469 × 216)
    floor (0.686515808105469 × 65536)
    floor (44991.5)     		ty = 44991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29135 / 44991 ti = "16/29135/44991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29135/44991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29135 ÷ 216
    29135 ÷ 65536     		x = 0.444564819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44991 ÷ 216
    44991 ÷ 65536     		y = 0.686508178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444564819335938 × 2 - 1) × π
    -0.110870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34830951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686508178710938 × 2 - 1) × π
    -0.373016357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17186544811189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34830951} λ = -0.34830951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17186544811189))-π/2
    2×atan(0.30978850752771)-π/2
    2×0.300412708523614-π/2
    0.600825417047227-1.57079632675     		φ = -0.96997091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34830951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.956665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96997091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.575239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29135 KachelY 44991 -0.34830951 -0.96997091 -19.956665 -55.575239
    Oben rechts KachelX + 1 29136 KachelY 44991 -0.34821364 -0.96997091 -19.951172 -55.575239
    Unten links KachelX 29135 KachelY + 1 44992 -0.34830951 -0.97002511 -19.956665 -55.578345
    Unten rechts KachelX + 1 29136 KachelY + 1 44992 -0.34821364 -0.97002511 -19.951172 -55.578345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96997091--0.97002511) × R
    5.42000000000042e-05 × 6371000     		dl = 345.308200000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96997091--0.97002511) × R
    5.42000000000042e-05 × 6371000     		dr = 345.308200000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34830951--0.34821364) × cos(-0.96997091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565323526846566 × 6371000     		do = 345.292696291141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34830951--0.34821364) × cos(-0.97002511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56527881810188 × 6371000     		du = 345.265388736676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96997091)-sin(-0.97002511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565323526846566-0.56527881810188)×R²
    abs(-0.34821364--0.34830951)×4.47087446853178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47087446853178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47087446853178e-05×40589641000000     		ar = 119227.684697475m²