Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29134 / 43755
↖ ↑ ↗
← S 51.546335°
W 19.962158°		 ← 379.88 m → S 51.546335°
W 19.956665°		 →
↑
379.84 m
↓
↑
379.84 m
↓
S 51.549751°
W 19.962158°		 ← 379.85 m →
144 287 m²		 S 51.549751°
W 19.956665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444557189941406 y=0.667655944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444557189941406 × 216)
    floor (0.444557189941406 × 65536)
    floor (29134.5)     		tx = 29134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667655944824219 × 216)
    floor (0.667655944824219 × 65536)
    floor (43755.5)     		ty = 43755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29134 / 43755 ti = "16/29134/43755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29134/43755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29134 ÷ 216
    29134 ÷ 65536     		x = 0.444549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43755 ÷ 216
    43755 ÷ 65536     		y = 0.667648315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.11090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34840539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667648315429688 × 2 - 1) × π
    -0.335296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05336543225111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34840539} λ = -0.34840539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05336543225111))-π/2
    2×atan(0.348762036824128)-π/2
    2×0.33557153144551-π/2
    0.671143062891021-1.57079632675     		φ = -0.89965326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34840539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.962158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89965326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.546335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29134 KachelY 43755 -0.34840539 -0.89965326 -19.962158 -51.546335
    Oben rechts KachelX + 1 29135 KachelY 43755 -0.34830951 -0.89965326 -19.956665 -51.546335
    Unten links KachelX 29134 KachelY + 1 43756 -0.34840539 -0.89971288 -19.962158 -51.549751
    Unten rechts KachelX + 1 29135 KachelY + 1 43756 -0.34830951 -0.89971288 -19.956665 -51.549751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89965326--0.89971288) × R
    5.9620000000038e-05 × 6371000     		dl = 379.839020000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89965326--0.89971288) × R
    5.9620000000038e-05 × 6371000     		dr = 379.839020000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34840539--0.34830951) × cos(-0.89965326) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62188154167021 × 6371000     		do = 379.8772601139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34840539--0.34830951) × cos(-0.89971288) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621834851467758 × 6371000     		du = 379.848739334631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89965326)-sin(-0.89971288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62188154167021-0.621834851467758)×R²
    abs(-0.34830951--0.34840539)×4.66902024516269e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66902024516269e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66902024516269e-05×40589641000000     		ar = 144286.789592187m²