Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29133 / 45000
↖ ↑ ↗
← S 55.603178°
W 19.967651°		 ← 345.05 m → S 55.603178°
W 19.962158°		 →
↑
345.05 m
↓
↑
345.05 m
↓
S 55.606281°
W 19.967651°		 ← 345.02 m →
119 055 m²		 S 55.606281°
W 19.962158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444541931152344 y=0.686653137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444541931152344 × 216)
    floor (0.444541931152344 × 65536)
    floor (29133.5)     		tx = 29133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686653137207031 × 216)
    floor (0.686653137207031 × 65536)
    floor (45000.5)     		ty = 45000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29133 / 45000 ti = "16/29133/45000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29133/45000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29133 ÷ 216
    29133 ÷ 65536     		x = 0.444534301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45000 ÷ 216
    45000 ÷ 65536     		y = 0.6866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444534301757812 × 2 - 1) × π
    -0.110931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34850126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6866455078125 × 2 - 1) × π
    -0.373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17272831230505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34850126} λ = -0.34850126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17272831230505))-π/2
    2×atan(0.309521317408083)-π/2
    2×0.300168896595639-π/2
    0.600337793191278-1.57079632675     		φ = -0.97045853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34850126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.967651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97045853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.603178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29133 KachelY 45000 -0.34850126 -0.97045853 -19.967651 -55.603178
    Oben rechts KachelX + 1 29134 KachelY 45000 -0.34840539 -0.97045853 -19.962158 -55.603178
    Unten links KachelX 29133 KachelY + 1 45001 -0.34850126 -0.97051269 -19.967651 -55.606281
    Unten rechts KachelX + 1 29134 KachelY + 1 45001 -0.34840539 -0.97051269 -19.962158 -55.606281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97045853--0.97051269) × R
    5.41599999999143e-05 × 6371000     		dl = 345.053359999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97045853--0.97051269) × R
    5.41599999999143e-05 × 6371000     		dr = 345.053359999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34850126--0.34840539) × cos(-0.97045853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564921236900427 × 6371000     		do = 345.046982512046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34850126--0.34840539) × cos(-0.97051269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564876546227728 × 6371000     		du = 345.019685995728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97045853)-sin(-0.97051269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564921236900427-0.564876546227728)×R²
    abs(-0.34840539--0.34850126)×4.46906726987439e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46906726987439e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46906726987439e-05×40589641000000     		ar = 119054.911325073m²