Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29133 / 44458
↖ ↑ ↗
← S 53.884916°
W 19.967651°		 ← 360 m → S 53.884916°
W 19.962158°		 →
↑
359.96 m
↓
↑
359.96 m
↓
S 53.888154°
W 19.967651°		 ← 359.98 m →
129 583 m²		 S 53.888154°
W 19.962158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444541931152344 y=0.678382873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444541931152344 × 216)
    floor (0.444541931152344 × 65536)
    floor (29133.5)     		tx = 29133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678382873535156 × 216)
    floor (0.678382873535156 × 65536)
    floor (44458.5)     		ty = 44458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29133 / 44458 ti = "16/29133/44458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29133/44458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29133 ÷ 216
    29133 ÷ 65536     		x = 0.444534301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44458 ÷ 216
    44458 ÷ 65536     		y = 0.678375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444534301757812 × 2 - 1) × π
    -0.110931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34850126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.35675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12076471311691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34850126} λ = -0.34850126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12076471311691))-π/2
    2×atan(0.326030379561947)-π/2
    2×0.315163559706616-π/2
    0.630327119413231-1.57079632675     		φ = -0.94046921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34850126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.967651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94046921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.884916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29133 KachelY 44458 -0.34850126 -0.94046921 -19.967651 -53.884916
    Oben rechts KachelX + 1 29134 KachelY 44458 -0.34840539 -0.94046921 -19.962158 -53.884916
    Unten links KachelX 29133 KachelY + 1 44459 -0.34850126 -0.94052571 -19.967651 -53.888154
    Unten rechts KachelX + 1 29134 KachelY + 1 44459 -0.34840539 -0.94052571 -19.962158 -53.888154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94046921--0.94052571) × R
    5.64999999999038e-05 × 6371000     		dl = 359.961499999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94046921--0.94052571) × R
    5.64999999999038e-05 × 6371000     		dr = 359.961499999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34850126--0.34840539) × cos(-0.94046921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589409045785429 × 6371000     		do = 360.003836693102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34850126--0.34840539) × cos(-0.94052571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589363402181537 × 6371000     		du = 359.975958138066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94046921)-sin(-0.94052571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589409045785429-0.589363402181537)×R²
    abs(-0.34840539--0.34850126)×4.56436038916985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56436038916985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56436038916985e-05×40589641000000     		ar = 129582.503492624m²