Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29132 / 45033
↖ ↑ ↗
← S 55.705450°
W 19.973144°		 ← 344.15 m → S 55.705450°
W 19.967651°		 →
↑
344.16 m
↓
↑
344.16 m
↓
S 55.708545°
W 19.973144°		 ← 344.12 m →
118 437 m²		 S 55.708545°
W 19.967651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444526672363281 y=0.687156677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444526672363281 × 216)
    floor (0.444526672363281 × 65536)
    floor (29132.5)     		tx = 29132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687156677246094 × 216)
    floor (0.687156677246094 × 65536)
    floor (45033.5)     		ty = 45033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29132 / 45033 ti = "16/29132/45033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29132/45033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29132 ÷ 216
    29132 ÷ 65536     		x = 0.44451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45033 ÷ 216
    45033 ÷ 65536     		y = 0.687149047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687149047851562 × 2 - 1) × π
    -0.374298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17589214767998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34859713} λ = -0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17589214767998))-π/2
    2×atan(0.308543590413975)-π/2
    2×0.299276403666449-π/2
    0.598552807332898-1.57079632675     		φ = -0.97224352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97224352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.705450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29132 KachelY 45033 -0.34859713 -0.97224352 -19.973144 -55.705450
    Oben rechts KachelX + 1 29133 KachelY 45033 -0.34850126 -0.97224352 -19.967651 -55.705450
    Unten links KachelX 29132 KachelY + 1 45034 -0.34859713 -0.97229754 -19.973144 -55.708545
    Unten rechts KachelX + 1 29133 KachelY + 1 45034 -0.34850126 -0.97229754 -19.967651 -55.708545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97224352--0.97229754) × R
    5.4019999999988e-05 × 6371000     		dl = 344.161419999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97224352--0.97229754) × R
    5.4019999999988e-05 × 6371000     		dr = 344.161419999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34859713--0.34850126) × cos(-0.97224352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563447462433625 × 6371000     		do = 344.146819091985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34859713--0.34850126) × cos(-0.97229754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56340283288605 × 6371000     		du = 344.119559910146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97224352)-sin(-0.97229754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563447462433625-0.56340283288605)×R²
    abs(-0.34850126--0.34859713)×4.46295475745595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46295475745595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46295475745595e-05×40589641000000     		ar = 118437.367196753m²