Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29132 / 44986
↖ ↑ ↗
← S 55.559709°
W 19.973144°		 ← 345.43 m → S 55.559709°
W 19.967651°		 →
↑
345.44 m
↓
↑
345.44 m
↓
S 55.562816°
W 19.973144°		 ← 345.40 m →
119 319 m²		 S 55.562816°
W 19.967651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444526672363281 y=0.686439514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444526672363281 × 216)
    floor (0.444526672363281 × 65536)
    floor (29132.5)     		tx = 29132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686439514160156 × 216)
    floor (0.686439514160156 × 65536)
    floor (44986.5)     		ty = 44986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29132 / 44986 ti = "16/29132/44986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29132/44986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29132 ÷ 216
    29132 ÷ 65536     		x = 0.44451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44986 ÷ 216
    44986 ÷ 65536     		y = 0.686431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.37286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17138607911569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34859713} λ = -0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17138607911569))-π/2
    2×atan(0.309937046133155)-π/2
    2×0.300548234600676-π/2
    0.601096469201352-1.57079632675     		φ = -0.96969986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96969986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.559709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29132 KachelY 44986 -0.34859713 -0.96969986 -19.973144 -55.559709
    Oben rechts KachelX + 1 29133 KachelY 44986 -0.34850126 -0.96969986 -19.967651 -55.559709
    Unten links KachelX 29132 KachelY + 1 44987 -0.34859713 -0.96975408 -19.973144 -55.562816
    Unten rechts KachelX + 1 29133 KachelY + 1 44987 -0.34850126 -0.96975408 -19.967651 -55.562816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96969986--0.96975408) × R
    5.42199999999937e-05 × 6371000     		dl = 345.43561999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96969986--0.96975408) × R
    5.42199999999937e-05 × 6371000     		dr = 345.43561999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34859713--0.34850126) × cos(-0.96969986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565547086892412 × 6371000     		do = 345.429244033005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34859713--0.34850126) × cos(-0.96975408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565502369959224 × 6371000     		du = 345.401931477102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96969986)-sin(-0.96975408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565547086892412-0.565502369959224)×R²
    abs(-0.34850126--0.34859713)×4.47169331877495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47169331877495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47169331877495e-05×40589641000000     		ar = 119318.847743157m²